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比例式の問題を教えてください（訂正版）
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a/bが既約分数であるという条件が付きました。これなら自明でしょう。 でも念のためにじっくりやってみましょうね。 a/bが既約分数とはつまり (1) a, bを共に割り切る1より大きい自然数はない。 (m/n)を既約の正の有理数（m,n>0）として (m/n)=c/a このようなm,nは必ず存在します。（c/aを約分したものに過ぎません。）念のために、既約であるということは (2) mとnの素因数分解は共通の素数を含んでいない。 という意味ですね。 するとa/b=c/dの関係から (m/n)=d/b が成り立つ。ゆえに a(m/n) = c, b(m/n)=d です。ここでc, dが自然数であるためにはamはnで割り切れ、bmもnで割り切れなくてはならない。 ゆえに、もしn>1ならば、(2)によって、 (3) amがnで割り切れるならば、aはnで割り切れる。 (4) bmがnで割り切れるならば、bはnで割り切れる。 が言える。すなわちa,bを共に割り切るn>1が存在することになり、条件(1)に矛盾してしまう。 だからn=1でなくてはならない。そこで k=m/n = m とおけば、これが求める自然数というわけです。
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- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答かいちゃった↓。閉めてから再質問してくださいよお。
分母を払うと ａｄ＝ｂｃで、かつａとｂは互いに素、 しかも積ａｂ、ｂｃは自然数だから、この等式が成り立つには、 ｄはｂの倍数でなくてはならない。 よって適当な自然数ｋを用いてｄ＝ｋｂと表せる。 これを再び等式に代入すると、 ｋａｂ＝ｂｃ 両辺をｂで割れば、ｃ＝ｋａが得られる。 こんなもんでどうでしょう？ 蛇足です。 大変請謁なんですけど、問題を間違えたわけですから、 貴方の満足のいく解答は出てこなくて当然ですよね。 88660の質問は締め切るべきだと思いますがいかがでしょう？ 皆さん一生懸命考えてくださったわけですから。ね。
お礼
返事が遅くなってすみません。 自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。 大変ご迷惑をおかけしました。 貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
- yu-mizu123
- ベストアンサー率37% (67/180)
「ａ、ｂ、ｃ、ｄは自然数で、ａ＜ｃ，ｂ＜ｄとする。 ａ/ｂ＝ｃ/ｄならば、」 ａ／ｂ＝ｃ／ｄからａ：ｂ＝ｃ：ｄ 比の関係あります。 上記の事からｃはａの倍数です。同じくｄはｂの倍数です。 この倍数は同じ値になります。ａ、ｂ、ｃ、ｄは自然数なのでこの倍数をｋとした時にｋは自然数になります。ある自然数Ｘある自然数＝自然数となるからです。 ｋｘａ＝ｃ、ｋｘｂ＝ｄとなります。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－ ａ／ｂ＝ｃ／ｄからａｘｄ＝ｂｘｃとし両辺にｂをかける ａ＝ｂｘｃ／ｄ ｋ代入します。 ａ＝ｃ／ｋから ｋ＝ｃ／ａ→ｋ＝ｄ／ｂ
お礼
自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
補足
問題が違っていました。 「ａとｂは互いに素の関係がある」 ことを付け加えて考えてください。
先人の方々の通りです。 このままでは反例が存在し、この命題は偽（成り立つとは限らない）です。 ｃ＝ｋａ、ｄ＝ｋｂとなるような「実数ｋ」が存在することを示せ。 ならばこの命題は真（正しい）で、No.3のように証明できます。 これが分からないと他のものが解けないという文章を見ていて、 単なる予想をしたのですが、 ａ/ｂ＝ｃ/ｄならば、 (a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d) のようなものが証明したいのですか？ それならば、ａ/ｂ＝ｃ/ｄ＝ｋ（ｋは実数）とおき、 ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋとして、左辺＝右辺を示します。 ａ/ｂ＝ｃ/ｄの形を比例式と言いますが、 比例式が与えられたときの証明のほとんどは、 ＝ｋと置いて分子をｋと分母を使って表すのが定石です。 一応ご参考までに。 見当違いだったらすいません。
お礼
自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
補足
問題が違っていました。 「ａとｂは互いに素の関係がある」 ことを付け加えて考えてください。
- dry-6
- ベストアンサー率0% (0/7)
a/b = c/d c = a(d/b) (1) d = b(c/a) (2) (a/b)(d/a) = (c/d)(d/a) d/b = c/a (3) (1)(2)(3)より k = d/b = c/a
お礼
自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
補足
問題が違っていました。 「ａとｂは互いに素の関係がある」 ことを付け加えて考えてください。
- hero1000
- ベストアンサー率29% (114/390)
a、b、c、dがそれぞれ自然数で、a＜c、b＜dなので、 a/b = c/d ということは「c/dを約分した結果がa/bだ」と言えます。 ということは、ある数kを用いて c/d = (ka/kb) と表記することができます。 約分を示す等式ですから、分子どうしと分母どうしは等式で成り立ちます。 よって、 c=ka、d=kbとなる数kが存在します。 ただ、kが自然数かどうかは証明できません。 例えばa/bが6/12、c/dが9/18という状態ならば、両方とも約分すれば1/2になる のですが、この場合のkは2/3になってしまうからです。
お礼
自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
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問題が違っていました。 「ａとｂは互いに素の関係がある」 ことを付け加えて考えてください。
- ranx
- ベストアンサー率24% (357/1463)
反例をあげます。 a=6, b=9, c=10, d=15 の時、 a<c かつ b<d で a/b = c/d ですが、 c=ka, d=kb となるような自然数 k は存在しません。
お礼
自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。 今後は十分注意いたします。 すみませんでした。
補足
問題が違っていました。 「ａとｂは互いに素の関係がある」 ことを付け加えて考えてください。
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