大学受験相当の問題と思いますが...

質問

関数 f(x) が、f(0)=0、f(x)>0 (x が 0 でないとき）を満たすとします。
f(x) がなめらかな関数であるとき、f'(0)=0（x=0 における微分係数がゼロ）
だと思うんですが、なんとなく気の利いた証明が出来ません。
n 次元関数への一般化も意識した証明を、どなたか教えて頂けませんでしょうか。

回答No.4

oodaiko · ベストアンサー

証明自体はshushouさんの証明で十分だと思いますのでちょいと余計なことを

まずfの条件として
(1) f(0)=0
(2) f(x) > 0 (x ≠ 0 ）
(3) f(x)はなめらかな関数
となっていますが(2)と(3)のxの範囲が書かれていないですね。
暗黙の了解としてはxは任意の実数ということでしょうが、
実数上のすべてのxについてこの条件を満たしている必要はありません。
まず(2)については0の適当な近傍Ｕ、言い替えれば0を含むある開区間上でこの条件を満たしていれば十分です。
また(2)の条件は
(2)' f(x) ≧ 0 (x ≠ 0 ）
と緩めることが出来ます。

なお(2)の条件を(2)'にしたときはshushouさんの証明で
＞ x>0のとき　f(x)/x>0　なので　……
＞ x<0のとき　f(x)/x<0　なので　……
の部分を
＜ x>0のとき　f(x)/x ≧ 0　なので　……
＜ x<0のとき　f(x)/x ≦ 0　なので　……
と変えて下さい。

また(3)の条件は x=0で満たされていれば；すなわち
x=0における微分可能性だけが仮定されていれば十分です。
その他の点では連続性さえ仮定する必要はありません。

さらに(1)の条件は実はf(0)の値がＵ上でfの値の最小値になっていれば
0でなくても構いません。そう仮定すると(2)（または(2)'）の条件も不要になります。

もう一度条件を（一般的な形に）整理して質問の命題を書くと

実数Ｒの原点を含むある開区間Ｕ上で定義された実数値関数fが
(1)原点で最小値をとり
(2)原点で微分可能
であれば
f'(0) = 0

と言う命題になります。
証明はF(x) = f(x) - f(0)
とすればF(0) = 0で、F'(0) = f'(0)ですから
最小値が0の場合の証明（すなわちshushouさんの証明）に帰着します。

原点のみで微分可能で(1)を満たす関数などあるのかって？
もちろんあります。例えばU=(-1,1)として
f(x) = x^2 （x が有理数の場合）
　　 = 1/(n+1)^3 （xが無理数で 1/(n+1) < x < 1/n の場合）
と言う関数を考えてみて下さい

＞shushouさんが示している平均値の定理の利用です ＜ masuo_kunさん
shushouさんの証明は平均値の定理を利用している訳ではありません。
上に述べたようにこの質問は平均値の定理（というよりロルの定理）より
はるかに一般的な条件の元でも成り立っています。
shushouさんの証明はロルの定理の証明の一部ですね。
ロルの定理の証明ではf(a) = f(b)となるaとb(>a)があると
aとbの間でfが最小値（または最大値）をとることを示してから、
shushouさんの証明のようにしてそこでの微分係数が0になることを示しますが
今の場合は最初からx=0で最小値0をとること、およびそこでの微分可能性が仮定されているので
ロルの定理（平均値の定理も同じですが）で仮定されていた
(a,b)全体での微分可能性、および[a,b]でのfの連続性
などを仮定する必要はないのです。

最後にn 次元関数の場合を見ておきましょう。
この場合も仮定は一般化出来ます。すなわち；

R^n上の関数fが原点を含むある開集合Ｕ上で定義され、
(1) 原点で最小値をとり
(2) 原点で微分（全微分）可能
であれば原点での微分係数は0になります。
（ただしこの場合はスカラーとしての0ではなく0ベクトルのことです。）

証明は１次元の応用です。やはり最小値0の場合のみ考えれば十分です。
n 次元関数が微分可能なら各成分についての偏微分も可能ですから
shushouさんの証明方法と同様にして各成分毎の原点における偏微分係数は 0であることが示せます。
よって原点における微分も( ∂f/∂x_1 ,∂f/∂x_2 ,… , ∂f/∂x_n ) = (0,0,…,0)となります。

お礼

ものすごく詳しい解説どうもありがとうございます！
命題の一般化、および n 次元の場合の証明もわかってしまい、非常に
助かりました。確かに x の定義域を書き忘れていましたが、考えているときは
全実数をとるもの、としていました。原点を含む開集合上でもO.K.なんですね。
実は、なめらかな正定値スカラー関数 V(x) (x は R^n 上の変数) に対して、
力学系 dx/dt=-∂V(x)/∂x を考えるときに、原点が安定平衡点になるのは
なんでなんだっけ？　と思ったのがきっかけです。
勾配系だから原点にいきつくことだけ理解していて、肝心なところが
ぬけていた、という次第です。

回答No.5

nanashisan

＞　f(0)=a (≠0) と仮定して矛盾を...という証明法も知りたいですよね。
f(0)=a (≠0)　ではなく　f’(0)=a (≠0)です。
ただ単に、f'(0)>0ならx<0でf(x)<0の点が存在し、f'(0)<0ならx>0でf(x)<0の点が存在することを言いたかっただけなのですが。

お礼

すいません、プライムを忘れてました！

回答No.3

noname#598

もちろん、一番スマートなのはshushouさんが示している平均値の定理の利用です

n次元関数というのは、ｎ次の整関数、ということでしょうか？
違ったら見当違いで申し訳ないのですが、
これを意識したいとのことなので、これでやってみます。

f(0)=０であることから、
f(x)=x(ax^(n-1)+…+bx+c)と因数分解できる。
ここで、f(x)=0以外に実数解をもたないことから、
ax^(n-1)+…+bx+c=0がもしxを因数にもたないとすると、
ax^(n-1)+…+bx+c=0は虚数解をもち、
a>0ではx>0で、a<0ではx<0で矛盾する。
よって、ax^n+…+bx+c=0は実数解を持ち、なおかつa>0である。
再びf(x)=0の解はx=0のみだから、ax^(n-1)+…+bx+cはxを因数にもつので、
c=0となる。
よって、f'(0)=0が示せた。

勢い余って・・・
f(x)=x^2(ax^(n-2)+…+b)
となったので、仮にnが奇数だとすると、
ax^(n-2)+…+b=0は再び実数解を持ち、x=0（奇数個の重解）と、残りは虚数解。
これではx<0でf(X)<0となり矛盾が生ずるので、ｎは偶数である。

つまり整関数のときは、偶数次で、最高次の係数は正であることも示せます。
かなり強引でしたが・・・

お礼

n個の変数をもつ関数、という意味だったのですが、わかりにくかったですね。
でも、 整関数の場合は特に因数分解がきいてくるのがよくわかりました。
どうもありがとうございました！

回答No.2

shushou

f(x) がなめらかな関数であるので
lim(x→0)((f(x)-f(0))/(x-0))=lim(x→0)(f(x)/x)=a(有限確定値)
は存在しますね。
x>0のとき　f(x)/x>0　なので　lim(x→+0)(f(x)/x)≧0
x<0のとき　f(x)/x<0　なので　lim(x→-0)(f(x)/x)≦0
よって　f'(0)=a=0　となります。

気が利いてない証明かもしれませんが。

お礼

有限確定値が存在する、というのは、f(x) がなめらかなので
f'(0) が存在し、ゆえに同値な lim(x→0)(f(x)/x) の値も
存在する、ということでしょうか？
すごくスマートな証明だと思いました！
どうもありがとうございました！

回答No.1

nanashisan

f'(0)>0またはf'(0)<0だとしたら…。背理法ではだめですか。

お礼

f(0)=a (≠0) と仮定して矛盾を...という証明法も知りたいですよね。
上の shushou さんの方法を参考にして考えてみます。