三角関数の和→積の公式

質問

の導き方を教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします

回答No.4

taropoo

複素数をご存知ならオイラーの公式を使うとサインとコサインが一度に求まります。

オイラーの公式と言うのは
e^ix = cos x + i sin x
と言うものです。

これを使うと
e^i(a+b) = cos(a+b) + i sin(a+b)
ところでe^i(a+b) = e^ia・e^ibだから
e^i(a+b) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

同様に
e^i(a-b) = cos(a-b) + i sin(a-b)
　　　　= e^ia e^i(-b)
　　　　= (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
この２式の両辺をくわえると
cos(a+b) + cos(a-b) + i(sin(a+b) + sin(a-b)) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) + (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
　　　　= 2(cos a + i sin a)cos b
　　　　= 2{cos a cos b + i(sin a cos b)}
この実部と虚部とをそれぞれ比べて
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b
sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b

後はa+b = A, a-b = Bとおけば、a = (A+B)/2, b = (A-B)/2だから

cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

となります。