数学 円

質問

座標平面上に中心が(2、2)で半径が1の円Cと、原点を通り傾きがmの直線lがある。
(1)円Cと直線lが異なる2点で交わるためのmの値の範囲を求めよ。
(2)円Cと直線lの２つの共有点と円Cの中心とでできる三角形の面積が最大となるようなmの値を求めよ
解き方を教えてください

回答No.1

noname#215361 · ベストアンサー

円Cは、（x-2）^2+（y-2）^2=1^2と表わせる
これに、原点を通り傾きがmの直線y=mxの式を代入して整理すると、
（x-2）^2+（mx-2）^2=1→（1+m^2）x^2-4（1+m）x+7=0

(1)
上式で判別式D＞0であればいいから、
D/4=4（1+m）^2-7（1+m^2）=-3m^2+8m-3＞0
ここで、解の公式を用いて、-3m^2+8m-3を因数分解すると、
-3m^2+8m-3=0になるのは、m=｛-4±√（4^2-3*3）｝/（-3）=（4±√7）/3
よって、-3m^2+8m-3=-3｛m-(4-√7）/3｝｝｛m-（4+√7）/3｝
以上から、-3m^2+8m-3＞0（3m^2-8m+3＜0）になるのは、
（4-√7）/3＜m＜（4+√7）/3

(1)の別解
円の中心と直線の距離が、円の半径よりも小さければいい
直線y＝mxを変形して、mx-y=0とすると、
円の中心と直線の距離は、
｜2m-2｜/√｛m^2+（-1）^2｝=｜2m-2｜/√（m^2+1）
よって、｜2m-2｜/√（m^2+1）＜1
両辺を2乗して整理すると、
3m^2-8m+3＜0になって、(1)と同じ結果が得られる

(2)
面積を求める三角形は、円の半径を2辺とする二等辺三角形である
円の中心と直線との距離をdとすると、三平方の定理から二等辺三角形の底辺の長さは、
2√（1^2-d^2）
これから、二等辺三角形の面積Sは、
S=2√（1^2-d^2）*d/2=d√（1-d^2）
S^2=-d^4+d^2=f（d）とすると、
f’（d）=-4d^3+2d=-4d（d^2-1/2）=-4d（d+1/√2）（d-1/√2）
よって、d=1/√2のときに、S^2が最大になるので、Sも最大になる
また、上の(1)の別解から、次の関係が成り立つ
｜2m-2｜/√（m^2+1）=1/√2
両辺を2乗して整理すると、
2（2m-2）^2=m^2+1
2（4m^2-8m+4）=m^2+1
7m^2-16m+7=0
解の公式から、
m=｛8±√(8^2-7*7）｝/7=（8±√15）/7