小数の割り算と概数に関しての質問です。

質問

小数の割り算と概数に関しての質問です。

実際に割り算する前の数字のまるめ方がよくわかりません。

たとえば算数、数学の問題で、世界の人口に対する日本の人口の割合を百分率で求めるときに、上から2ケタの概数で求める場合には、9ケタ÷10ケタを計算する前に割る数と割られる数を四捨五入して、上から2ケタの概数にしてから計算しますよね。
しかし、小数第一位を四捨五入して整数で答えなさいと出題された場合にはそのまま割り算をする必要があるのでしょうか。
あるいは上から何ケタ目かを四捨五入してから計算すべきなのでしょうか。

上記の問題を言い換えてみます。

ｍ桁の自然数Aとｎ桁の自然数Bがある。
A÷Ｂの小数第三位を四捨五入してできた数をCとする。
Ａの上からｐ桁目を四捨五入した数をＡ’、Ｂの上からｐ桁目をＢ’とする。
Ａ’÷Ｂ’の小数第三位を四捨五入してできた数をＣ’とする。
ＣとＣ’が等しいとき、ｐの最小値を調べよ、またはｍ、ｎを用いて表せ。

ＣとＣ’が完全に等しい必要は本当はないのかもしれません。
慣用としてこのような計算をする場合には誤差が入ってもよいとされているのかもしれません。
答えがあるかどうかも分かりませんが、上の例題の場合ではなく、一般的な答えが知りたいです。

回答No.4

at9_am · ベストアンサー

> at9_amさんのお答えに従うと上記の問題は有効数字2ケタと考えて
> (7.4×10^5)÷(8.3×10^4)≒8.9
> として計算すべきということでしょうか。

すこし違います。もう一桁、つまり
　7.44×10^5÷8.27×10^4=8.996372...≒9.0
とするべきですね。

何故かと言えば、例えば8.3×10^4は82500～83499のどれかを四捨五入したという考え方から、小数点以下第一位の3は2かもしれないし、ほんの少しの差で4になったかもしれないものであり、前回紹介した参考サイトで○が付けられている数字です。
したがって、
　(7.4×10^5)÷(8.3×10^4)
では、有効数字は一桁なので、
　(7.4×10^5)÷(8.3×10^4)=8.9156626...≒9
となるわけです。

もし説明するとしたら以下のようになります。
　7.44×10^5→743500～744499
　8.27×10^4→82650～82749
だから
　7.44×10^5÷8.27×10^4＝8.9850028...～9.0078523...
となり、小数点以下第二位を四捨五入すれば、この範囲は9.0になることがわかります。

これより下の桁で四捨五入すると同じ数字にはなりません。8.99～9.01と幅が出てしまいますから、細かいところは分からないと言っているのと同じことで。またこれより上の桁で四捨五入するのは分かっている情報をみすみす減らすのは意味がありません。

同じことを一桁落として考えれば
　7.4×10^5→735000～744999
　8.3×10^4→82500～83499
だから
　7.4×10^5÷8.3×10^4＝8.8025006...～9.0302909...
となり、小数点以下第二位を四捨五入しても同じ数字になりません。小数点以下第一位を四捨五入して９になります。

因みに、中学入試問題は、そのままの数字で割り算して小数点以下第二位を四捨五入、つまり筆算をするとして最初の桁に9が立った時点で引き算すると残りが67となるため、9.0だということがそれ以上の計算なしに求められます（恐ろしいことにトップレベルではこの程度は暗算で瞬時に計算します）。

この問題の回答で問題となるのはむしろ回答の書き方です。「9.0」という書き方は（少なくとも公立小学校では）ほぼ「やってはいけない」と教えられますが、この問題に関しては「9.0」という書き方が求められます。
一応、小学校の概数の授業で触れてはいるので出題としては問題はないハズですが、公立校・塾なしでは「９」と書いて減点になっている子は多いのでは、と思ったりします。
サンプルだからこういう出題は無いのかな？　或いは9でも正解にするのかな？　とも思いますけれどもね。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

基本は丸めは最後に行ない
それ以前の計算では丸めは行なわないです。

回答No.6

ORUKA1951

これは厄介な問題でして、有効数字の考え方が必要になります。ある桁数の概数を求めるためには、その桁数よりも多い桁までの数が必要です。二桁必要なのでしたら三桁で計算して３桁目を四捨五入します。
[例]
1.040999×1.049099の値を２桁まで求めなさい。電卓で計算すると
1.083678918001
と言う値が出てきますから、３桁目を四捨五入すると
1.1
になります。
　では２桁しかいらないので、最初から二桁で計算すると
1.0×1.0 = 1.00 ≒ 1.0
　これは、変ですね。
では、３桁目までで計算すると
1.04×1.04 = 1.0816 ≒ 1.1
1.0816の３桁目まで信頼できますから、「３桁目を四捨五入」できるのです。

＞上から2ケタの概数で求める場合には、・・・・計算する前に割る数と割られる数を四捨五入して、上から2ケタの概数にしてから計算しますよね。
　いいえ、３桁の概数にして計算します。例えば、
1.040999×1.040999×1.040999×1.040999と掛け算を幾度も繰り返すとてきめんと差が出てきます。
1.040999×1.040999×1.040999×1.040999 = 1.174359997319818081836001
1.0×1.0×1.0×1.0 = 1.0
1.04×1.04×1.04×1.04 = 1.16985856 ≒ 1.17 3桁目まで信頼できる。
1.041×1.041×1.041×1.041 = 1.174364509761 ≒ 1.174 4桁目まで信頼できる。

※ポイントは、概数を求めるときはその必要な桁数より一つ多い桁で計算して概数に直さなければなりません。

＞世界の人口に対する日本の人口の割合を百分率で求める
　残念ながら世界人口は２桁まで（億の単位）しか信頼が置けませんので、この場合は２桁目以降は信頼できない結果にしかならないのじゃないかと・・

回答No.5

noname#227653

質問の趣旨に沿った答えになっているかどうかわかりませんが、少なくとも中学入試では割り算をしてから四捨五入をします。

四捨五入というのは簡単にいうと「多少正確性を欠いてもいいから切りのいい数字にする」ということですよね。「多少の誤差は構いませんよ」ということです。
ただ、計算する前の数字を四捨五入してから計算をすると、計算してから四捨五入するのに比べて誤差が大きくなってしまいます。

例えば850÷149＝5.7046…となり、小数第一位を四捨五入すると６になります。
しかし、計算する前に四捨五入をして900÷100にすると答えは９ですよね。
当然、前者の方が誤差が小さくなります。

というわけで、中学入試ではまず割り算をしてから四捨五入をすることになっています。これが「一般的な答え」かどうかは分かりませんが。

回答No.3

at9_am

実用的な方法としては有効数字（有効桁数）という概念になります。
もっとも、実際の使い方はこの問題の使い方とは逆に、ある測定値からの計算値の精度がどこまで意味があるのか、というものですが。

A≦Bとして考えればA÷Bは必ず0と1の間の数になりますから、小数第三位を四捨五入して出来た数は２桁の数になります。したがって、有効数字として必要とされるのは精々３ケタまでですから、４桁目を四捨五入すれば充分な精度が出ます。

詳しい説明を書くと長くなるので、例えば
http://fnorio.com/0034significant_figure1/significant_figure.htm
を参照してください。

因みに、概数で答えよ、等という問題自体ほとんどお目にかかりませんが、中学入試などでは問題文に指示があるので「指示に従って下さい」というのが答えになります。

お礼

ありがとうございます。
まさにそこに疑問を感じるのです。
実はこの疑問を感じた発端は、都立小石川中学の適性検査にある問題を見たことです。
先入観なしにお答えいただきたかったのであえて触れませんでした。

http://www.koishikawachuto-e.metro.tokyo.jp/cms/html/category/entrance/index.html
入学案内＞平成２７年度、適性検査、サンプル問題＞大問2、（1）に
744376÷82701≒9.0
を小数第2位を四捨五入して小数第1位までの計算させる問題があります。
at9_amさんのお答えに従うと上記の問題は有効数字2ケタと考えて
(7.4×10^5)÷(8.3×10^4)≒8.9
として計算すべきということでしょうか。
2つ方法で答えが異なってしまいます。
これが何かの会議資料だとしたら大した誤差ではないかもしれません。
しかし、入試問題の正解と不正解では大変だと思うのです。(あるいは両方政界にするのかもしれません。)

2ケタでなく、744376と82701を3ケタで計算しても、直感的に、経験的にそのまま計算するときと答えに差がないことは判ります。
しかし、そこに説明できる根拠がないのです。

回答No.2

maiko0318

合計も正しく、明細も正しく表示するシステムを作ったことがあります。

A：３．３
B：３．４
C：３．３
合計１０．０

であれば
A：３
B：４
C：３
合計１０．０

というふうに、小数部分の大きい方から＋１する方法です。
切り上げ・切り捨て・四捨五入以外のもう一つの解決手段です。

補足

まず、質問したいのは四捨五入の仕方についてです。
しかもmaiko0318さんの例のように、和を考えるのではなく、比を考えるケースです。
また、数学的根拠を期待しています。
実務的には示唆に富んだお答えですが、私が期待している答えとずれがあるようです。

回答No.1

maiko0318

経理の帳簿ではしばしば起こりえます。

円単位の売り上げと仕入れ。これも年間収支で億単位にもなれば
報告書としては下位桁を削り、百万円単位で表します。

A店211百万円
B店132百万円
C店521百万円

これの合計は864百万円ですが、円単位で表示すると865百万円だったりします。

表示上で合わせるか正しい値を出すかですが、
いくら本当の値であっても、表としてあっていなければいろいろなところで問題が出ます。
使用目的によってどちらを使うかを決める必要があります。

お礼

ありがとうございます。
なるほど実際に計算を使う場合には十分に納得できます。
子供たちに説明するにも十分だと思います。
ただ、仮に中学の入試問題に出題された場合はどうでしょうか。
常にどのような場合でも通用する計算方法がないかが知りたいです。
私の力不足で思いつきませんが、数列のような形で答えることができるのではないかと予想しています。