- ベストアンサー
「Q&A数学基礎論入門」の中の問題の答がわかりませ
お世話になります。 「Q&A数学基礎論入門」(久馬栄道著・共立出版)を読んでいます。 次の問題がわかりません。 P.55 ∈に関する帰納法 ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x) 問題24 自然数に関する帰納法では 0 で成り立つことがはじめに必要であるが、 ∈に関する帰納法ではこのようなものがない。なぜか考えよ。 (次にこう書いてあります) 命題論理でA→BのAがFならば、この式がいつでもTであることを 思い出せ(そして x∈φの真理値がFであることも)。 ずーと考えました。でもわかりません。 どなたか答を教えて下さいませんか。 よろしくお願い致します。
- cosmopapa
- お礼率94% (177/188)
- 数学・算数
- 回答数8
- ありがとう数8
- みんなの回答 (8)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
そういう事です。
その他の回答 (7)
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
えっと、この質問のニュアンスは、 *自然数に関する帰納法では「A(0)が成り立ち、A(n)が成り立つならA(n+1)が成り立つなら全ての自然数nに対してA(n)が成り立つ」みたいに書いているけど、 *∈に関する帰納法では 「∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x)」と書くだけで、これが 「(A(0) ^ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) )→∀xA(x)」と同じ意味になることを確かめよ、という事です。つまり∀x(∀y∈xA(y)→A(x))と書くだけで「A(0)が成り立つことは仮定していることになる」ということを確認せよ、ということですが、いいですか? > ∀y(y∈0→A(y))→A(0) > の真偽値がTであることが分かれば A(0)が真でなければ真になりません。そうでなくて、「∀y(y∈0→A(y))→A(0)」(の真偽)と「A(0)」(の真偽)が等しいことを確認せよ、という事。
お礼
tmpname様、何度も回答ありがとうございます。 ∀y(y∈0→A(y)) の真偽値はTだから ∀y(y∈0→A(y))→A(0) の真偽値と A(0) の真偽値が等しい。 ゆえに ∀y(y∈0→A(y))→A(0) と A(0) は同値である。 従って [A(0) ∧ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) ]→∀xA(x) の A(0) は ∀x(∀y∈xA(y)→A(x) の中に含意されている。 と考えればいいのですね。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
要は、y∈0→A(y)というのは任意のyについて成り立つのだから、∀y(y∈0→A(y))というのはA(y)が何であろうが「常に正しい」訳で、そうすると『∀y(y∈0→A(y))→A(0)』という式の「∀y(y∈0→A(y))→」というのは(常に正しいのだから)「条件がないのに等しい」ことは分かりますか?
お礼
あっ、分かった。 tmpname様、質問にお付き合い下さって、どうもありがとうございます。 私は問題の意味を取り違えて受け取っていました。 「A(0) が成り立つことを証明せよ」 と思っていました。 ∀y(y∈0→A(y))→A(0) の真偽値がTであることが分かればそれでいい訳ですね。 問題の意味は [∀x(∀y∈xA(y)→A(x))]→∀xA(x) の仮定[…]部分が x=0 の時に真であるということを説明せよ、 ということですね。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
> x にφを代入して > ∀y∈φA(y)→A(φ) なぜそこでまた「省略記法」に戻すのか... そうでなくて、きちんと ∀y(y∈0→A(y))→A(0) と書いてみる。で、「y∈0を満たすy」って何でした(ありました)っけ?(空集合の定義は?) それを考えると、「y∈0→A(y) を満たすy」というのが何か分かるのでは?
お礼
回答ありがとうございます。 y∈0を満たすy は存在しません。 ですから y∈0 : F y∈0→A(y) : T たぶん ∀y(y∈0→A(y)) : T この先は・・・ 分かりません。 んー、私の頭は悪い。本当にこの本、読めるのだろうか? まだ、おもしろそうだな、と思っておりますが。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ほとんど答えが書いてある (笑). 「自然数に関する帰納法」で「0 で成り立つこと」に対応するものは, 「∈に関する帰納法」ではなんでしょうか?
お礼
回答ありがとうございます。 すっかり笑われてしまいました。 ∀y∈φA(y)→A(φ) この式の真偽値が分からないのです。 たぶんTなのだと思いますが、なぜTなのか分かりません。 論理学なんて全くの素人です。 どうか笑わないでバカな私のために答を教えて頂けないでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- MagicianKuma
- ベストアンサー率38% (135/348)
集合論の正則性公理を調べてみてください。きっと答えが見つかります。
お礼
回答ありがとうございます。 正則性公理は、この本では後に出てくるので ここではまだ使ってはいけないのだと思います。 答はまだ分かりません。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
というか、ひょっとしたら ∀y∈xA(y)→A(x) という「省略記法」をつかっているので混乱しているのかもしれない。 この辺り http://okwave.jp/qa/q8733851.html を「参考にして」(この通りではないけど)、一度∀y∈xA(y)→A(x)というのを「きちんと書き直す」とすっきりするのかも。
お礼
回答ありがとうございます。 ∀y∈xA(y)→A(x) をきちんと書き直すと ∀y(y∈x→A(y))→A(x) だと思います。 x にφを代入して ∀y∈φA(y)→A(φ) この真偽値を考えるのですが分からないのです。 私、頭がバカですが、みなさんに教えて頂きながら 読んでみたいと思っております。
- tmpname
- ベストアンサー率67% (195/287)
具体的にx=0の時 ∀y∈xA(y)→A(x) というのを書き下して(単にx=0を代入するだけ)、その時∀y∈xA(y)というのがどうなるかを考えてみてください。
お礼
回答ありがとうございます。 y∈φ :F ∀y∈φA(y) :T ∀y∈φA(y)→A(φ) の真偽値がわかりません。 もうここで間違っていますか?
関連するQ&A
- 基礎論(集合論)の問題が解けません
基礎論の入門書にある問題が解けません。解答がついていないので、教えてもらえればありがたいです。 問題だけを挙げても意味不明になりそうなので、少し前のところから、なるべく丸写ししたいと思います。 以下、問題です。よろしくお願いします。 <に関する帰納法(正則性の公理と同等) (注! 記号が自由にならないので、「yはxの元(要素)である」をy<x、全称量化記号(Aを逆さまにしたやつ)をAと表記します) 数学において帰納法といえば、普通は自然数に関する帰納法をいう。 <に関する帰納法というのは、集合にも同じような性質があったほうがよいという要請を公理の形で書いたものである。 <に関する帰納法とは次のようなものである。 Ax(Ay<xA(y)→P(x))→AxP(x) つまり自然数に関する帰納法はn-1について成り立つならばnでも成り立つとき、すべての自然数でも成り立つということであるが、<に関する帰納法はy<xとなるすべてのyで成り立つならばxでも成り立つとき、すべての集合でも成り立つということを述べている。 問題 自然数に関する帰納法では0で成り立つことがはじめに必要であるが、<に関する帰納法ではこのようなものがない。なぜか考えよ。 ヒント:命題論理でp→qのpがF(=偽)ならば、この式はいつでもT(=真)であることを思い出せ(そして、x<φの真偽値がFであることも)。
- 締切済み
- 数学・算数
- この数学の問題の答えを教えてください!
この数学の問題の答えを教えてください! x^2 ←二乗という意味です。 問1 次の整式をxについて降べきの順に整理し、各項の係数、および定数項をいえ。 (1) x^2+2xy+y^2-3x-3y+2 (2) -3x^2-xy+2y^2-2x+y-1 問2 次の整式 A,Bについて、A+B、A-B、A+3Bを求めよ。 (1) A=4x^2+3x+1 , B=x^2+x+2 (2) A=2x^3-3x^2+x-1 B=-x^3+2x^2+2 問3 A=x^3+2x^2-3x+1,B=3x^3-4x^2+x+2のとき 4A+3B-(A+B) を計算せよ。 問4 次の計算をせよ。 (1) (a^4)^2×(-3a)^2 (2) (ab)^4 ×a^2 b^3 (3) 8xy^4×(-5x^4 y^2) (4) (-x^4 y^2)^3 × 7x^3 y^4 (5) 2ab^2 c^3×(-abc)^4 (6) (abc)^3×(3ab)^3 c 問5 次の式を展開せよ. (1) x^2(x^2-3x+4) (2) (2x+1)(3x+4) (3) (2x^2-3x+1)(2x-1) (4) (x^2-3x+1)(3x^2-x+3) 問6 次の式を展開せよ. (1) (x+4)^2 (2) (2x-5)^2 (3) (2a+3)(2a-3) (4) (x+2)(x-4) 答えを紛失して、答え合わせができず困っています よろしくお願いします><
- 締切済み
- 数学・算数
- 結構難しめの数学の問題です
定数 c>0 と閉区間I 上で定義された f(x) ͕が」 |f(x)-f(y)|<c |x-y|, ∀x,y ∈I を満たすとする. (i) f < I で連続であることを示せ (ii) c<1 の時 a[n+1]= f(a[n]) と帰納的に定義されるa[n]nはコーシー列であることを示せ (iii) c<1 の時f(x)=xとなる点がI上で唯一存在することを示せ これの解き方を教えてほしいです
- 締切済み
- 数学・算数
- こんばんわ。問題集の中で解けない問題があり困っています。
こんばんわ。問題集の中で解けない問題があり困っています。 x^2+y^2=1のとき、2x+3yの最大値を求めよ。 なのですが 相加・相乗の関係を用いても (x^2+y^2)(a^2+b^2)≧(xa+yb)^2を用いても 求められず困っています。 解き方やアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学ⅠAの問題を作って下さい。
同じ系統の問題を作って下さい。 答えもお願いします。 1、(1)aを正の整数として、xの2次不等式 x^2-6x-a^2-2a+8≦0 を満たす整数xが33個あるとき、aの値を求めなさい。 (2)連立方程式 1/x-1/y=2 , 1/x^2+1/y^2=6 (3)√13の少数部分をpとおくとき、2/p-p/2の値を求めなさい。 (4)方程式 x=√2x+11 を解きなさい。 ※x=√2x+11は2重根号です。 (5) (4)で求めた解をaとするとき、a^3の値を求めなさい。 2、x,yを整数とするとき (1)|x-1|+|y+1|=0の解を求めなさい。 (2)|x-1|+|y+1|<3 を満たす(x,y)の組は何組あるか求めなさい。 3、2次関数y=ax^2+bx+cのグラフは点(0,55)を通り、かつ、x=3において、直線y=-44に接する。 (1)2次関数の係数a,b,cの値を求めなさい。 (2)この2次関数のグラフとx軸との交点のx座標を求めなさい。 4、2次関数f(x)=x^2-2(cosθ)x-sin^2θを考える。ただし、θは定数で 0°<θ<90°の範囲にあるとする。次の問に答えなさい。 (1) y=f(x)の頂点の座標を求めなさい。 (2)f(x)の -1≦x≦1 における最大値を求めなさい。 5、1,2,3,4,5,6,7の7個の数字から、異なる4個の数字を用いてできる4桁の整数を小さい順に並べるとき、次の問に答えなさい。 (1)4567は何番目の数か。 (2)234番目の数は何か。 6、(1)600の正の約数の個数は何個あるか求めなさい。 (2)600の正の約数のうち800の正の約数であるものの個数は何個あるか求めなさい。 どれか一問でもいいので作って下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の命題の問題です。
数学の命題の問題です。 次の命題を論理式で書き、真偽を調べよ。さらに、その証明を与えよ。 ここでは、Xは空でない普遍集合とし、P(A)はAのべき集合をあらわす。 「Xの部分集合Aに対してP(A∪B)=P(A)∪P(B)となるXの部分集合Bが存在する」 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の問題の答えをお願いします
数学の問題の解答と途上式をお願いします。 次の2次関数をy=a(x-p)^2+qの形に変形しなさい。 (1)y=-x^2-2x-1 次の関数のグラフを()内に示したように平行移動したとき、そのグラフをあらわす2次関数を求めなさい (1)y=-x^2 (x軸方向に2) (2)y=x^2 (y軸方向に5) □を埋めてください。 (1)y=2x^2-4 (y=2x^2) x軸方向に□ y軸方向に□ 頂点の座標(□、□) 軸の方程式□
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数理論理学の問題です
数理論理学の問題です AとBを命題論理の論理式とする。Aがトートロジーの時、Aに現れる命題変数XをすべてBで置き換えてもトートロジーになる、その理由を説明せよ。 という問題です。 取りあえず解いてみたのですが解答って 命題変数X,Y…の真偽の定め方によらず、命題論理の論理式Aの真理値が常に真になるときAをトートロジーと呼ぶ、つまり、命題変数部分の真偽によらず全体として正しい命題論理の論理式はトートロジーなので、そのトートロジーに現れる命題変数の部分に命題論理の論理式Bを代入しても常に正しいと判断されるから これで良いんですかね?無駄な部分足りない部分がわかる方いましたらご指摘の方よろしくお願いします<(_ _)>
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題です! 解答・解説お願いします。
数学の問題です! 解答・解説お願いします。 (1) 複合命題 (𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∧ 𝑞 の真理値表を作成せよ. 𝑝 𝑞 (𝑝 ∨ ∼ 𝑞) ∧ 𝑞 T T ? T F ? F T ? F F ? (2) 複合命題 𝑝 ∧ (∼ 𝑞 ∨ 𝑟) の真理値表を作成せよ. 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝 ∧ (∼ 𝑞 ∨ 𝑟) T T T ? T T F ? T F T ? T F F ? F T T ? F T F ? F F T ? F F F ? (3) 2つの命題 𝑝, 𝑞 を基に作られる複合命題の真理値表は4段となる. また, 3つの命題 𝑝, 𝑞, 𝑟 を基に作られる複合命題の真理値表は8段となる. それでは, 4つの命題 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 を基に作られる複合命題の真理値表は何段となるか. 整数値で答えよ.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の2次方程式の問題が解けません
次の問題の解き方を教えていただけたら嬉しいです。高1で、明日までの課題です (1)整式f(x)を(x-1)^2で割るとx+1余り、x-2で割ると5余る。f(x)を(x-2)(x-1)^2で割った余りを求めよ (2)x+y+z=a、x^3+y^3+z^3=a^3 が成り立つ時、(x-a)(y-a)(z-a)=0を示せ よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
tmpname様 丁寧にお教えいただき感謝しております。 私は、論理学など素人ですが この本、とっつき易さそうで、おもしろそうです。 何とか読み進めていことう思っております。 どうもありがとうございました。 非常に助かりました。