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次の問題を解いて解法を教えてください。
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(1)N4を求めよ。 >n=4(正8角形)では∠AiA1A(i+1)=π/8で∠AiA1A(i+4)=π/2 だからi+4≦j≦8 i=2のときj=6,7,8 i=3のときj=7,8 i=4のときj=8 よってN4=3+2+1=6・・・答 (2)Nnをnの式で表せ。 >正2n角形では∠AiA1A(i+1)=π/(2n)で∠AiA1A(i+n)=π/2 だからi+n≦j≦2n i=2のときj=n+2,n+3,n+4,・・・,2n(jの個数n-1) i=3のときj=n+3,n+4,・・・,2n(〃n-2) i=4のときj=n+4,・・・,2n(〃n-3) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ i=n-1のときj=2n-1,2n(〃2) i=nのときj=2n(〃1) よってNn=(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+2+1=n(n-1)/2・・・答 (3)A1、A2,…,A2nの中から3点選び、これらを頂点とする三角形を作るとき、 この三角形が鋭角三角形(すべての角の大きさが90°より小さい三角形)となる確率Pnを求めよ。 >三角形の総数(3点の選び方)は2nC3=(2n)!/{3!*(2n-3)!}=2n(2n-1)(n-1)/3 それらのうちの直角三角形及び鈍角三角形の数は合計2n*Nn=(n-1)n^2だから Pn=[{2n(2n-1)(n-1)/3}-{(n-1)n^2}]/{2n(2n-1)(n-1)/3} =(n-2)/{2(2n-1)}・・・答 (4)lim(n→∞)Pnを求めよ >lim(n→∞)Pn=lim(n→∞)(1-2/n)/{2(2-1/n)}=1/4・・・答
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- gohtraw
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この多角形の外接円を考え、その中心をOとします。 多角形の頂点はすべて外接円の周上にあるとします。 ∠AiA1Aj>=90° ということは、円周角と中心角の 関係から、 ∠AiOAj>=180°・・・(あ)ということです。 ここからは図がないと実感しにくいと思うのですが、 (j-i)の値が一定の範囲にあるとき、(あ)の条件が 満たされます。
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ありがとうございます。助かりました。