ポアソン分布において、各事象の和の分布は？

質問

ある事象がポアソン分布に従って分布しているとします。
ポアソン分布の中心は x =λ とします。
よって確立分布 f(x)は√λ 程度の広がりを持ちます。
すなわち、x がλ±√λの範囲に収まる確率はほぼ68%。---(1)

この事象がN回おきたとき、その和Σf(x)　は、
どの程度の広がりを持ちますか？
(1)のような意味での広がりです。

それから、Nは10か20か程度の数という前提です。

回答No.4

ask-it-aurora · ベストアンサー

もし仕様表にある「誤差範囲0～3％」の意味が仮に「標本値xの取る値が平均μに対して |x/μ| < 1.03 となる確率が0.90」と解釈したとしてみると，正規分布を仮定すれば
0.90 = ∫[|x/μ| < 1.03]dx exp(-(x - μ)^2/(2σ^2))/√(2πσ^2))
となるので分散σ^2が求まるかもしれませんね．

どうやって上の式を解くのかはわかりませんが，きっちり解くのはたぶん無理なので具体的なμの値を代入したあとに数値計算でなんとかするんでしょうね．

補足

どうも、誤差が3％になる点が正規分布上のどの点であるかを決定する必要は無いようです。
正規分布上で、横軸の0から、(任意の、ある)z（に対応するx)までの区間に、誤差0～0.03μが収まるとします。
たとえばz=1としたら、抽出サンプルの68.27％が誤差0～0.03μの範囲内です。

N個の場合について考えると、抽出サンプルの68.27％が誤差0～0.03μ√N の範囲内です。
従って、N個に対する誤差は0～0.03μ√N と評価できます。

要は、N個の場合に拡張すると、3％の点が追跡してくるので、具体的な点を求めなくていいんですね。

回答No.3

ask-it-aurora

<補足
> 「キャンディー１個の質量が、期待値の1.03倍である確率」
> (適切な用語が不明なので確率と言っておきます)が有意である、
> という情報のみをヒントに、標準偏差を求める必要があります。
これが本当に可能なのかどうか僕は懐疑的です．少なくとも
> すると、標準正規分布表より、50-0.5＝49.5(％)である点 z=2.58 を用いて
の部分で何をやったのか僕にはよくわかりませんでした．

ここで少し一般論を書きます．n個の独立に同一の正規分布N(μ, σ^2)に従う確率変数X[1], …, X[n]があるとします．このとき再生性よりこれらの和X = X[1] + … + X[n]は正規分布N(nμ, nσ^2)に従います．また未知の母数μ, σ^2は実験データx[1], …, x[k]から推定できます．最尤法から
平均を ν = (x[1] + … + x[k])/k,
分散を τ^2 = ((x[1] - ν)^2 + … + (x[k] - ν)^2)/k
で点推定するのが普通です．

上に書いたような計算をしておけば，確率変数Xは正規分布N(nν, nτ^2)に従うものとして，どんな確率でも理論的には計算できます．たとえば質量が平均nνの1.03倍より大きなキャンディーが現れる確率は積分
∫[1.03nν, +∞]dx exp(-(x - nν)^2/(2nτ^2))/√(2πnτ^2))
で計算できます．（実際は標準正規分布に変換して数表を見るのでしょうが．）計算結果をあらかじめ決めておいた閾値と比べれば仮設検定ができるでしょう．

問題を解決するというよりは問題を完全に書き換えていますが，こうするのが普通かと．

補足

何度もありがとうございます。

---指摘について---
はい。そうやって標準偏差を求めたかったのですが、
実験データの類のものが手元にない状況ですので
(某仕様表に誤差範囲0～3％と書いてあるのみ)、
先のような計算をして求めました。

正規分布は横軸方向の端点がないので、このような
問題に使うにはやや無理があるのかもしれません。
もっと良いモデルをほかに知っていればよかったのですが。

>> すると、標準正規分布表より、50-0.5＝49.5(％)である点 z=2.58 を用いて
> の部分で何をやったのか僕にはよくわかりませんでした．

標準正規分布において、(グラフ上で)そこより右の値となる確率が１％であるzの値を求めました。
0<=z<=50 の範囲で載っている表でです。

しかし今考えると自分がやりたかったことと違っていたようです。考えていたのは、
「z=2.58(すなわち、あとで1.03％点に設定する点)において全体の1％存在するならば
有意である」と考えていたのですが、この点があらわすのはz=2.58より右に1％分布するということであって、この点に全体の１％があるわけではありませんでした。

全体の１％が分布する点dを見つけるには、面積を持たせるために
標準正規分布をM個に分割しなければならないのでしょうが、その時
面積は、(d/M)*exp(-d^2/2)/sqrt(2pi) これが0.005に一致する必要があり、
しかしMが決まらないのでdは求められません。

こうしてみると、どうやら正規分布では解けない問題のようです。

回答No.2

ask-it-aurora

<補足
まずは言葉づかいについて．実務的な利用についてはよく知らないのですが，数学における標準的な用語を使ってくださった方が意思疎通が楽です．恐らくあなたの使っている言葉は
中心 → 期待値
確率分布 f(x) → 期待値λのポアソン分布に従う確率変数x
広がり → 標準偏差
のことを指していると思って，先の回答をしました．それで補足の件ですが，「ばらつき」が何を指しているのかよくわかりません．実際に観測される数値がポアソン分布に従うなら，そのパラメータλひとつで説明できるでしょうから，なぜ他の数値が必要なのでしょうか．

また結論の式だけを見た直感的な感想を述べさせてもらうと± sqrt( f(λ)*N*0.03　)/2 はその絶対値が小さすぎると思います．0.03倍して平方根を取ったらほとんど無いようなものですし，どうして半分にしたのかもわかりません．きっとこの式がおかしいことはキャンディーを1袋買ってきて重さを測ってみればわかると思います．

## ついでに言うとポアソン分布に従うという問題の設定も気になります．キャンディーの質量のようなものならば正規分布のほうが適切な気がします．ポアソン分布と似ているならば正規分布 N(λ, √λ) ぐらい？問題の68%がなんとなく正規分布でよく見かける68.27%を連想させますし．

お礼

ご指摘が参考になりました。より適切な正規分布を使って、なんとか解けたと思います。

まず用語についてはその通りです。
あと、正規分布と混同していました。正規分布について調べなおしたところ、

正規分布では標準偏差が与えられる必要があると分かりました。
しかしながら、今回の問題では、標準偏差は与えられていません。
「キャンディー１個の質量が、期待値の1.03倍である確率」
(適切な用語が不明なので確率と言っておきます)が有意である、
という情報のみをヒントに、標準偏差を求める必要があります。

以下では、期待値から正の方向(1～1.03倍)のみで考えました。

恣意的になりますが、「キャンディーを１個取得するとき、期待値の1.03倍の質量のキャンディーが
引き当てられる確率」が 1％(以上)であるならば 1.03倍のキャンディーの存在する確率が
有意であると設定します。これで、質量は1～1.03倍の範囲で分布することになります。

すると、標準正規分布表より、50-0.5＝49.5(％)である点 z=2.58 を用いて
x=2.58σ＋μ (標準正規分布への変換の式)

これが1.03倍のキャンディーの質量ですから、質量の期待値を m_average とおいて、
2.58σ = 0.03*m_average が成り立ちます。
これよりσ = 0.03*m_average/2.58

これで、標準偏差が求められました。

これはキャンディーが１個の場合ですから、N個の場合について考えると標準偏差は σ√N
(∵ N個についての標準偏差 = sqrt( Σσ_i^2 ) ,さらに、
()内= N(1/n)Σ(x_average - x_j)^2 = Nσ^2 )

結論として、質量の和の分布について、全体の68.27％の範囲にあるのはm_averageから
m_average + (0.03*m_average*√N )/2.58　まで
です。

N=1 の時の標準偏差は m_average*0.03 の43％と、感覚的に小さくない値ですし
こんなものではないでしょうか。

依然不完全かもしれませんし、なにかご指摘・ご感想などあればぜひお願いします。

回答No.1

ask-it-aurora

ポアソン分布は再生性を持つので期待値λのポアソン分布に従うN個の独立な確率変数の和は期待値Nλのポアソン分布に従います．よって，その標準偏差（＝広がり）は√(Nλ)です．

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ポアソン分布

補足

回答ありがとうございます。

以下の具体的な問題に適用してみました。

解きたかった問題は具体的には、
「1個 f(λ)グラムのキャンディーがあります。(λ は定数)
キャンディーの質量はポアソン分布に従ってf(λ)を中心に最大で±3％ばらつきます。
キャンディーをN個集めて質量の和Σf(x)を量ったとき、
Σf(x)は中心の値 N*f(λ)に対してどれだけばらつきますか？」

というものです。
答えはf(λ)*N ± sqrt( f(λ)*N*0.03　)/2

こんな感じでしょうか？

それから、キャンディーの質量が0～3％までばらつく場合
(ポアソン分布の中心は0％の点であり、マイナス側が消える以外にグラフの形状は変更なし)
の答えは、± が + に変わるだけで、
f(λ)*N + sqrt( f(λ)*N*0.03　)/2

となりますよね？