この不等式の解き方がわかりません。

質問

|x|+2 / |x| - 3 < 4 　

答えは、わかりました。（x<-14/3, -3 <x< 3 , 14/3 <x )

ですが、どのように計算すれば、 -3 <x< 3 　という答えが出てくるのかがわかりません。；

｜ｘ｜が３よりも大きな数字になった瞬間から、
この不等式が成り立たなくなるというのは、理解できます。

しかし、そのことを　理屈で考えるのではなく、計算で解く方法があるのならば、それを知りたいと思いました。

どのように考えれば良いのか、教えてください。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

(|x|+2) /(|x| - 3) < 4 …(1)
分母の|x|-3≠0の条件から　|x|≠3 ⇔ x≠±3 …(2)

(2)の条件のもとで(1)の両辺に(|x|-3)^2(>0)を掛けると

　(|x|+2)(|x|-3)<4(|x|-3)^2 …(3)

(1)は(2),(3)と同値である。

(3)の左辺を右辺に移項して

　0<4(|x|-3)^2-(|x|+2)(|x|-3)　…(4)

右辺で因数(|x|-3)を括り出して因数分解すると

　0<(|x|-3)(4(|x|-3)-(|x|+2)) …(5)

　0<(|x|-3)(3|x|-14) …(6)

この|x|についての不等式の解は

　|x|<3, 14/3<|x|　…(7)

(7)は(2)を満たしている。
(7)の絶対値をはずせば

　∴-3<x<3, x<-14/3, 14/3<x　…(答)

要望の
「しかし、そのことを　理屈で考えるのではなく、計算で解く方法があるのならば、それを知りたいと思いました。」
に合いますか？

お礼

いかにも。
因数分解のところまで　なぞってみて、とてもよくわかりました(^^)

（ｘ-3）^2　を両辺にかける・・　というところを思いつくかな…と言う不安はありますけど、

大きな一歩です！

どうもありがとうございました！

回答No.3

yyssaa

＞計算するなら、まず絶対値記号を取る
(ア)0≦xのとき|x|=xだから、与式は(x+2)/(x-3)＜4
(ア-1)3＜xのとき(x+2)＜4(x-3)から14/3＜x
(ア-2)x＜3のとき(x+2)＞4(x-3)からx＜14/3
共通範囲はx＜3
以上から0≦xのときは14/3＜x及び0≦x＜3
(イ)x＜0のとき|x|=-xだから、与式は(-x+2)/(-x-3)＜4
(イ-1)0＜-x-3すなわちx＜-3のとき(-x+2)＜4(-x-3)からx＜-14/3
共通範囲をとってx＜-14/3
(イ-2)-x-3＜0すなわち-3＜xのとき(-x+2)＞4(-x-3)から-14/3＜x
共通範囲をとって-3＜x
以上からx＜0のときはx＜-14/3及び-3＜x＜0
(ア)(イ)から答はx＜-14/3及び-3＜x＜0と14/3＜x及び0≦x＜3となるが
-3＜x＜0と0≦x＜3はまとめて-3＜x＜3と書けるので
x＜-14/3、-3＜x＜3、14/3＜xとなる。

お礼

うーん。
共通範囲という言葉が難しく…。

もう少し勉強してから、いただいた解説に再挑戦してみます。

まずは、どうもありがとうございました！

回答No.1

hashioogi

|x|+2 / |x| - 3 < 4
は
(|x|+2) / (|x| - 3) < 4
だと思いますけど、
こういう絶対値を含む問題は式をグラフ化するところから始めた方がわかり易いと思います。

まず
y=|x|+2
と
y=|x|-3
のグラフを一つのグラフに書いてみてください。

お礼

うーん。
グラフを書いてみましたが、さっぱり…。

でも、ご回答をありがとうございます！