微分方程式の解法と変数の処理についての疑問
- 微分方程式 dy/dx = (10x – 1) / (4 + 3y²) の解法と変数の処理について疑問があります。
- 模範解答では、(4 + 3y²) dy/dx = (10x – 1) として式を変形し、積分を行っています。
- 疑問点は、変数Cについての処理です。なぜイ）でCが一つになり、エ）でCがAに変わるのかが理解できません。
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微分
問）Solve dy/dx = (10x – 1) / (4 + 3y²) 模範解答と模範途中式）∴ (4 + 3y²) dy/dx = (10x – 1) ∴ ∫ (4 + 3y²) dy = ∫ (10x – 1) dx ∴ 4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2 （ア）（タイプ出来ませんでしたがこのCについている１，２は小さいです） ∴ 4y + y³ = 5x² – x +C （イ） ∴5x² - y³ = 4y + x – C （ウ） ∴5x² - y³ = 4y + x ＋A （エ） 理解出来ないのは何故 何故 イ）で C がひとつになるのですか？ 最終的に C は一つにならないといけない、とは思うのですがどうやって処理するのですか？ C２ － C１ は２－１だからCがひとつだけ残るのですか？ エ）で何故 C が A に変わるのですか？ どなたか教えて頂けますか？
- machikono
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(ア)→(イ)について 「２－１だからCがひとつだけ残る」わけではありません。 まず(ア)の段階では 問) の微分方程式を解いた結果、C1, C2 はどのような数であっても 問）の微分方程式を満たす、ことが導かれました。 しかし、 (1)「4y + y³ +C1 = 5x² – x +C2, ただしC1, C2 は任意にとってよい」 というのは何も両辺に定数を振り分けて書かなくても (2)「4y + y³ = 5x² – x +C, ただしC は任意にとってよい」 というのと同値です。 むしろ(1)の言い方だと、 4y + y³ +3 = 5x² – x +7 も 4y + y³ +4 = 5x² – x +8 も同じ解を与えますので表記に冗長性がありますよね。 (2)の書き方だと、 4y + y³ = 5x² – x +4 となり、同じ解に対して表し方は一通り(冗長性のない表し方)になりますよね。 (ウ)→(エ)について 問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか？ そうでなければ、単に任意定数の部分をマイナスで表記したくなかったから、A = -C とおいてプラスで書きなおしたというだけだと思います。
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- 中村 拓男（@tknakamuri）
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C2-C1=C とするだけです。単なる置き換えです。 C2 と C1 も任意定数なので、まとめて1個の任意定数にしても問題ありません。 また A=-C なのでしょう。 なぜわざわざ置き換えるのか不明ですが・・・
お礼
単なる置き換えと聞いてホットしました。有難うございました。
- naniwacchi
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C1-C2だろうが、-Cだろうが、「定数」であることは同じなので、 改めて書き直しているだけですよ。
お礼
わかりました、考えすぎた様です。 ご解答頂き有難うございました。
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お礼
＞問題に初期値などに関する条件は書かれていましたか？ いえ、u-tube からの問題でこれ以上の条件はありませんでした。 詳しくいろんな事を説明して下さり助かりました。 有難うございました。