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物理学の、微分方程式の問題を教えてください
「d^2x/dt^2+2*dx/dt=1の 問い1:特解と一般解を求め、 問い2:t→∞になった時、物体はどのような運動をするのか答えなさい」 この問題の問い2が分かりません。 問い1は 特解:x=t/2 一般解:x=C₁e^(-2t)+C₂+t/2(C₁とC₂は任意の数) と分かりました。 問い2が分からないので教えてください。 お願いします
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この問題は初期条件をはっきりさせないで定常解を求めろという、数学的にはあり得ても物理的にはセンスを疑う問題ですね。 d^2x/dt^2+2*dx/dt=1 (1) lim(t→∞)x=lim(t→∞)C₁e^(-2t)+C₂+t/2=C₂+t/2 ここで積分定数は無視するとして lim(t→∞)x=t/2 を言いたかったのでしょう。 これは特解であって d^2x/dt^2+2*dx/dt=1の 第一項を省いた 2*dx/dt=1 の解になっています。 第一項d^2x/dt^2の効果は時間とともに減衰して消滅することを示しています。 もっと明らかなのは dx/dt=1/2+Ce^(-2t) なので lim(t→∞)dx/dt=1/2 となり、一定の時間変化率になるということを示しています。 xが変位のときはdx/dtは速度になります。つまり十分時間がたつと速度が一定になるということです。 雨粒が空から落ちてくるとき、運動方程式は(1)と同様になり、重力が空気の抵抗とバランスして、 一定の速度になり、これを最終速度といっています。
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ありがとうございました。 よく理解できました