（3a、 3a^2＋2a）をとおる二次関数のグラフ

質問

点（3a、　3a^2＋2a）をとおる二次関数のグラフがあります。

これの式を求めよ、という問題がでました。

■私の考え
まず、Y座標（3a^2＋2a）　／　X座標の二乗（9a^2）　を計算して、「比例定数」を求めました。
そうしてもとまった比例定数を使って、

【Y＝「比例定数」・X二乗　　】　という答えにしました。

■解答

X＝３a
a＝X／３　・・・　とやってから、これをY座標の式に代入し、

Y=３（X/３）^2　＋　２（X／３）a　・・・　という式を得ていました。

■ワタシの答えには、まだaが混じっているので、間違いのようですが、
それにしても、解答で、どうしてこのようなことをしているのか、理解ができません。

なぜ、X座標をいじって得られたa＝X/3　を、　Y座標のaに代入すると、　これが二次関数の式となるのでしょうか？

回答No.4

gohtraw · ベストアンサー

質問者さんのやり方は、すくなくともａ＾２を含む項については合っているので、
ａを含む項についても同じことをしてやればいいのです。

ａ＾２を含む項の係数：（３ａ＾２）／（３ａ）＾２＝１／３
ａを含む項の係数：２ａ／３ａ＝２／３

「模範解答」とやらも、やり方は間違っていません。
ａ＝ｘ／３をｙ＝3a^2＋2aに代入すると
ｙ＝ｘ＾３／３＋２ｘ／３

3a^2＋2aをｘの式で表したくて、ａ＝ｘ／３なので代入したというだけなんです
けどね。

お礼

わかりました～！

自分がつくった式に、

a＝x/3　を代入したら、

答えとおなじになりました！

すごく助かりました。ありがとうございます！

回答No.5

think2nd

aがパラメーターのままで最後までまとわりついてしまうことと、戦略が読めなくなってしまったため、泥沼に陥ったのだと思います。解答を理解したら、ご自身のとき方(比(のような割り算y成分/x^2)を用いようとした解法)を反省してみてください。アイデアは温めておきたいものですからね。

PS.　理解できたら次の問題にチャレンジしてみてください。
点（3a、　3a^2＋2a）をとおる二次関数のグラフがあります。これの式を求めよ。
　というのを
"点P（3a^2、3a^2＋2a）をとおるグラフがあります。この2次曲線の方程式を求めよ。"

ヒント。　式を見つけるのは簡単なのでしょうが、(xの定義域が正と、縛りが入ります。)
　しかしグラフが書けなくなります。(エクセルを利用(pのグラフを書くのです。)すればできるかもしれません。放物線(?)が右斜めに傾いたようなグラフになると思います。)

お礼

どうもありがとうございます！

PSの問題にもチャレンジしたのですが、
分母がｘだらけになりました。

しかも分母にｘ^3まで登場したので、もうお腹いっぱいになりました　^^;

ご親切に、どうもありがとうございました！

回答No.3

think2nd

よく問題を読みましょう。問題の意味が分かれば、半分解けたようなものです。
　aとはいったい何なんでしょうか。問題には、定数だと書いてありますか。
　おそらく書いていないでしょう。だとしたら、任意のaについてと解釈すると、２通りの解法が浮かびます。
　１つはNo1さんのような、恒等式とみて解く方法。
もう一つはaをパラメーターと見て解く方法。
です。
■解答
　　X＝３a
a＝X／３　・・・　とやってから、これをY座標の式に代入し、

　と、動点P（3a、　3a^2＋2a）の座標をP(X,Y)とおいてXとYの関係式をつくるいわゆる軌跡の方程式をつくる、基本解法にすぎません。よく理解してください。
　あとあなたが比を取った、根拠をよく回顧してください。aが消えないから、正比例ではありません。
　PS.　aを定点だと考えたとしたら、どう解きますか?
なぜ点（3a、　3a^2＋2a）と書いてあって"定点"と書いていないのでしょうか?
疑問→Think→悟りです。問題の裏が見えてきますよ。

お礼

そうですよね…。
自分の知っているやり方で解いたら、aが残ってしまいました。
でも、aがあるかぎり、問題の答えにはなれませんもんね。

お陰で、納得できました。

どうも、ありがとうございました！

回答No.2

spring135

>■私の考え
まず、Y座標（3a^2＋2a）　／　X座標の二乗（9a^2）　を計算して、「比例定数」を求めました。
そうしてもとまった比例定数を使って、

【Y＝「比例定数」・X二乗　　】　という答えにしました。

比例というのは一次関数y=px+qのq=0の場合にのみ使えます。

2次関数では使えません。

＞■解答

X＝３a
a＝X／３　・・・　とやってから、これをY座標の式に代入し、

Y=３（X/３）^2　＋　２（X／３）a　・・・　という式を得ていました。

まれにみるいい加減な回答ですね。答えは完全に間違っています。

素直にちゃんとやりましょう。

求める2次関数を

y=cx^2+dx+e

とおきます。

点（3a、　3a^2＋2a）を通ることから

3a^2＋2a=c(3a)^2+d(3a)+e=9ca^2+3da+e

係数を比較して

3=9c

2=3d

0=e

これらより

c=1/3, d=2/3, e=0

よって求める2次関数は

y=x^2/3+2x/3

お礼

ご回答、どうもありがとうございました！

これは代ゼミの模試です。

その模範解答が、上述のものです。

代ゼミも、どうやら間違いを犯すのですね！

本当に助かりました！

回答No.1

asuncion

＞【Y＝「比例定数」・X二乗　　】　という答えにしました。

質問者さんの答えでは、原点を通りますが、
問題文には「原点を通る」とは書いていないので、
正しくなさそうです。
ただし、

＞ワタシの答えには、まだaが混じっているので、間違いのようですが、

aが混じるのは当然です。

お礼

模範解答には、Aが混じっていなかったので、そのように考えてしまいました。

ご回答、どうもありがとうございました！