高校数学の確率の問題です

質問

右図のように12個の点A,B,C,D,E,F,G,H,K,Lが12本の線で結ばれている　粒子Pが点Aを出発してこれらの12個の点の間を次の規則に従って移動する　

(i)粒子Pは点ABCDの各点では上下左右のいずれか隣の点へ同じ確率1/4で1秒間で移動する

(ii)粒子Pが×印の付いた点GKのいずれかに達すれば直ちに消滅する　

(iii)粒子Pが○印の付いた点EFHIJLのいずれかの点に達すれば以後その点で停止し続ける　

出発してからn秒後に粒子Pが消滅する確率をp[n],停止する確率をq[n]とする、このとき、

(1)粒子Pが消滅する確率Σ[n1→∞]p[n],および停止する確率Σ[n1→∞]q[n]を求めよ

(2)粒子Pが消滅するか停止するまでの時間の期待値Σ[n1→∞]n(p[n]+q[n])を求めよ

解説で粒子Pが0,2,4,,,秒後にA,Cにある確率の総和をそれぞれP(S),P(C)とし、1,3,5,,,秒後にB,Dにある確率の総和をそれぞれP(B),P(D)とする　対称性からP(B)=P(D)=xとすると　P(A)=1+2x/4,P(C)=2x/4

粒子Pが移動し続ける事象Mの確率はp(M)=1×2/4×1/4×1/4×・・・・＝0となっていたのですが、
P(A)=1+2x/4,P(C)=2x/4になるのとp(M)=1×2/4×1/4×1/4×・・・・＝0になるのが分かりません

p(M)の式は最初の1は0秒後に必ずAにいるので1、1秒後はAからB,Dのいずれかに行く確率なので2/4ここまでは分かるのですが、2秒後BまたはDからそれぞれAかCに行く確率が1/4になっているのが分からないです、B,Dから次に繋がる場合の数はB,DからそれぞれAかCに行く場合の合計4通りでB,Dからの進み方はB→G,B→F,B→A,B→C,D→A,D→C,D→K,D→Jの全部で8通りです、この中で次につながるのが4通りですから

1秒後から2秒後に繋がる確率は4/8=1/2と思ったのですが、1/4になってて合わないですよね、この考え方はどこが間違っているのでしょうか？

回答No.2

MagicianKuma · ベストアンサー

(1)P(A)=1+2x/4 の意味は0秒時にAにいる確率1+1秒以降にBからAに移る確率+1秒以降にDからAに移る確率。
(2)P(C)=2x/4 の意味は1秒以降にBからCに移る確率+1秒以降にDからCに移る確率。
(3)p(M)=1*2/4*1/4*1/4*・・・=0は間違い。あなたの考え方が正しい。n秒後にA,B,C,Dのいずれかにいる確率は(1/2)^nとなる。

お礼

補足で聞いた事は分かりました、ありがとうございました～

補足

>1秒以降にBからAに移る確率+1秒以降にDからAに移る確率。
これが2x/4になるとおっしゃっていると思うのですが、こういう考え方ですか

1秒後BからAは1秒後Bに居る確率をP1(B)とすると
1/4×P1(B)です、３秒後BからAは1/4×P3(B)です、これを続けていくとnを偶数とするとn-1秒後Bに居てn秒後Aにいるのは

1/4×Pn-1(B)です、よって1秒後以降BからAに移る確率は1/4×P1(B)+1/4×P3(B)+....+1/4×Pn-1(B)+...
=lim(n→∞)Σ[k=1→n]1/4×P2k-1(B)=x/4

同様にして1秒後以降DからAに移る確率は1/4×P1(D)+1/4×P3(D)+....+1/4×Pn-1(D)+...
=lim(n→∞)Σ[k=1→n]1/4×P2k-1(D)=x/4
よって1秒後以降BからAの確率+1秒後以降DからAの確率はx/4
+x/4=(2x)/4ですか？

P(C)も同じ考え方

>p(M)=1*2/4*1/4*1/4*・・・=0は間違い。あなたの考え方>が正しい。n秒後にA,B,C,Dのいずれかにいる確率は(1/2)>^nとなる。
やっぱりそうですよね、何回考えてもおかしいなぁと思ってたんですよ

回答No.1

asuncion

右図のように

図を見せてください。

お礼

すいません、出来ました、画像を貼り付けたので、やはりこちらでよろしくお願いします

補足

あ、本当ですね、図が載ってない、あれ、おかしいな、ちゃんと画像指定したはずなのに、もう画像ってこの質問では入れる事できないんですよね、質問の取り消しも出来ないので、もう一度新たに同じ問題と画像を載せますね