水平面で終端速度？

質問

ある球について、
質量中心周りにある角速度ωを与えた後、水平な面（静摩擦係数μ、動摩擦係数μ'）に回転軸が水平になるようにして球を放す。
この場合の球の質量中心の終端速度を求めろ。
という問題があります。

坂でなら角度による加速と摩擦力の抵抗によって終端速度で一定になるイメージができるのですが、水平面だと加速する要素がないからただ減速し、最後は動かなくなるっていうふうに考えてしまい、解き方がわかりません。
どなたかご教授よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra

摩擦が働く状況は次の二通りの状態です。

1.物体が面に対して静止している。その状態で物体に面に沿った力が働いているとき。

2.物体が面に対して動いているとき。

気を付けないといけないのは、2の面に対して動いているというのは接触面でのことであり、重心の動きとは関係ないということです。

面に対して円柱が転がっているとします。
もし円柱が面に対して滑っていないとしたら接触面での面と円柱の相対速度はどうなっているでしょうか。
この場合、接触面での相対速度は"0"なのです。ですのでこの場合は動摩擦は働きません。
では静止摩擦はどうでしょうか。
ただ転がっているだけの円柱には重力以外の力はかかっていません。ですので静止摩擦も働きません。この状態では円柱の速度は変化しなくなります。

この問題の場合、物体の初速が与えられていません。そのためこの問題は解くことができません。
物体の重心の初速度が"0"であるとしましょう。
回転している物体と水平な面の間には一定の動摩擦が働きます。
この動摩擦は物体の運動にどのような影響を与えるでしょうか。
二つの運動の変化が起こります。
1.重心の速度変化
2.角運動量の変化

1.の重心の速度変化については単純に運動方程式が立つことになります。
2.の角運動量の変化については、物体の半径と動摩擦の積がトルクになりますから、そのトルクの大きさが角運動量の時間微分と慣性モーメントの積に等しくなるという式が立つでしょう。

この二つの式から重心の速度と角速度の時間変化を求めます。
重心の速度が角速度と半径の積に等しくなると物体と水平な面との接触部分での相対速度が"0"になります。これが終端速度です。

さて、これだけでこの質問への回答とするには少しつまらないので、もう少し話を進めることとします。

・摩擦のした仕事
摩擦のある状況で面の上で物体をずらすと摩擦によって熱が発生したり、音が出たり、場合によっては静電気が発生したりいろいろ起こります。
今回の問題のような状況ではさらに別のことが起こります。
摩擦により、回転エネルギーの一部が並進運動エネルギーに変換されるのです。つまり、摩擦による仕事が完全なロスではなく、駆動力として働くことになるのです。
車や自転車などはこのおかげで動いてくれるのです。

・U字の坂を転がる物体。
U字型の坂の一方の頂上から物体を滑らせると、一番下まで降りた後に反対側の坂を少し上がります。この上がる高さは必ず元の高さよりも低くなります。
この場合、摩擦が小さければ小さいほど上がる高さは高くなります。
では転がす場合はどうでしょうか。
実はある領域では摩擦係数が大きくなったほうが上がる高さが大きくなるということが起こり得ます。
これは位置エネルギーが並進運動エネルギーだけでなく摩擦により回転エネルギーとして蓄えられ、すべりではなく転がりとなることで摩擦のロスが減ってしまうことに起因します。
摩擦係数が小さすぎると回転エネルギーに変換される量が小さく、ずっと滑ったままでいるため摩擦のロスが大きくなってしまうのです。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>水平面だと加速する要素がないからただ減速し、最後は動かなくなるっていうふうに考えてしまい

静止摩擦はエネルギーを消費しないので止まりません。問題には書いてませんが、
転がり摩擦が０の場合です。

球の重さを M, 球が均一の密度を持つなら I = (2/5)Mr^2(rは球の半径)
重心の速度を v、回転速度を ω1とすると(ωは初角速度にとられてしまったので)

動摩擦は一定なので、

v = μ'gt(tは球が水平面に置かれた瞬間を基準にした時刻, g: 重力加速度)
ω1=ω-rμ'Mgt/I=ω-(5/2)μ'gt/r

v=rω1で静止摩擦に移行するので、この時の時刻は t1=rω/((7/2)μ'g)

この時の重心の速度は v=μ'gt1=rω/(7/2)=(2/7)rω

おお、動摩擦の大きさにかかわらず、初期の球表面の速度の 2/7 になるみたいですね。

全部オンラインで書いたので、間違っているかも。間違っていたらすいません。