数学、図形と方程式

質問

問、平面内に2点P(2,0), Q(0,4)をとり2点P,Qを通る円を考える。この円の中心Cのx座標をmとする。
（１）このときCの座標は（m, 1/2m+3/2)　（解）線分PQの方程式はy=-2x+4。線分PQの垂直二等分線の方程式はy=1/2x+3/2となり円Cの中心は　y=1/2x+3/2上に存在するので。

次の問に疑問点があります。
（２）ｍ=□のとき円はｙ軸に接し、その円の方程式は（ｘ－□）＾２+（ｙ－□）＾２=□□である。　　という問題なのですが、

最初の　ｍ=□を求める際に解答は、下記のようなんですが、

（解）円Ｃがｙ軸に接するつまり、Ｑ（０，４）を接する円となる。よって、（Ｃの中心のｙ座標）=４となる。
1/2m+3/2=４→ｍ=５となる。

1/2m+3/2=４　←これが理解できないです。

回答No.2

NemurinekoNya

P、Qを通る円の中心は、PQの垂直二等分線上にあるからですよ。

円の中心をCとすると、CP = CQ = 円の半径となり、
△CPQは、PQを底辺とする、CP=CQの二等辺三角形となって、PQの中点をMとすると、
CMとPQは直交する。

これを式にしたのが、
　y = (1/2)m+3/2
です。

y = -2x + 4と直交するから、垂直二等分線の方程式の傾きをaとすると、
　-2a = -1
　a = 1/2
で、これは(2,0)と(0,4)の中点(1,2)を通るから、
　y -2 = (1/2)(x-1)
　y = (1/2)x + 3
となります。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

gohtraw

この円はｙ軸に接し、かつ（０，４）を通るので、（０，４）は
接点に他ならないことはOKですか？

上記より、（０，４）を通りｙ軸に垂直な直線を考えるとこの
円の中心は上記の直線上にあることはOKですか？

ということは、この円の中心のｙ座標は４であることはOK
ですか？

以上より　1/2m+3/2=４　となります。

お礼

ありがとうございます

補足

この円の座標が（m,4）になるのはわかりますが、なぜｍを求めるときに、ｙ=1/2m+3/2を用いるのですか？