積分可能性についての問いです。

質問

偏微分で或る方向に於いて微分出来なくなることがある関数でも積分は出来ますか。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

連続であれば微分不可能でも積分可能です

例)
f(z)=|z|
z=x+iy
とすると
f(z)=√(x^2+y^2)
だから
g(x,y)=f(z)=√(x^2+y^2)
とすると
gの(0,0)でxについての偏微分をg_x(0,0)
yについての偏微分をg_y(0,0)とする
g_x(0,0)=
=lim_{h→0}{g(h,0)-g(0,0)}/h
=lim_{h→0}(√h^2)/h
=lim_{h→0}|h|/h
g_y(0,0)=
=lim_{h→0}{g(0,h)-g(0,0)}/h
=lim_{h→0}|h|/h
↓
lim_{h→+0}|h|/h=1
lim_{h→-0}|h|/h=-1
だから
g_x(0,0),g_y(0,0)は確定しないので
g(x,y)=f(z)はz=0で偏微分不可能
z=0で(偏)微分不可能だけれども
z=0を含む積分区間で積分可能
∫_{-1～1}|z|dz
=∫_{-1～0}(-z)dz+∫_{0～1}zdz
=[-z^2/2]_{-1～0}+[z^2/2]_{0～1}
=+1/2+1/2
=1

お礼

またまた御回答を誠に有難う御座いました。

回答No.1

muturajcp

連続であれば微分不可能でも積分可能です

f(z)=1-|z|
z=x+yi
とすると
f(z)=1-√(x^2+y^2)
f_x=-x/√(x^2+y^2)=-x/|z|
f_y=-y/√(x^2+y^2)=-y/|z|
z=0で(偏)微分不可能だけれども
z=0を含む積分区間で積分可能
∫_{-1～1}(1-|z|)dz
=∫_{-1～0}(1+z)dz+∫_{0～1}(1-z)dz
=[z+z^2/2]_{-1～0}+[z-z^2/2]_{0～1}
=+1/2+1/2
=1

お礼

御回答を誠に有難う御座います。

補足

数学はド素人ですので、f_x, f_y とは何であり、偏微分とどう関わっており、どの様にして御計算なさったかをお教え下さいますでしょうか。