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定積分

∫(1/2+x∧2)dx この不定積分をマイナス無限からプラス無限まで積分するという、定積分の問題なんですが… x=√2×tanΘと置換して解いていこうと考えたんですが、 マイナス無限とプラス無限に対応するΘの値がわかりません。 オススメの解き方があればそれもお願いします。 arctanで解いて貰っても構いません

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

括弧がないのですが、置換の仕方から察するに問題は∫(1/(2+x∧2))dxでしょうか? その置換で解けますよ。tanΘのグラフはご存じですか?Θ=-π/2~π/2のときx=-∞から+∞に単調に増大します。 つまり、x=-∞から+∞の積分はこの置換でΘ=-π/2~π/2までの積分になります。

www0722
質問者

お礼

その通りでした…へんに考えすぎました。 ありがとうごさいました。

その他の回答 (1)

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

>∫(x=-∞→∞)1/(2+x^2)dx =∫(x=-∞→∞)1/{2(1+(1/2)x^2)}dx =(1/2)∫(x=-∞→∞)1/{1+(x/√2)^2}dx x/√2=tと置換、dx=√2dt、被積分関数は偶関数だから ∫(x=-∞→∞)1/(2+x^2)dx =√2∫(t=0→∞)/(1+t^2)dt =√2(arctan∞-arctan0) =√2(π/2-0)=π√2/2

www0722
質問者

お礼

ありがとうございます。

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