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確率の問題です。
『 1からNまでの整数の値を書いたN枚のカードが袋に入っているとする。袋から無作為にカードを1枚抽出し、書かれていた値を記録し、カードを袋に戻す。この動作を繰り返しk番目の動作で抽出したカードの番号をukとする時の問いに答えよ。 (1)xn=max{u1,u2,...,un}とするとき、xn=ν(1≦ν≦N)となる確率を求めよ。 (2)yn=min{u1,u2,...,un}とするとき、yn=μ(1≦μ≦N)となる確率を求めよ。 (3)xnの期待値を求めよ。 』 という問題です。 n=2のときはN×Nのますを書いてxn=νになる確率は(2ν-1)/N^2だろう、 n=3のときはN×N×Nの立方体を書いてxn=νになる確率は(3ν^2-1)/N^3だろう ってことは一般的にxn=νになる確率は(nν^(n-1)-1)/N^nだろうという予測はついたのですが、 それをどう理論的に説明するか、その方法が分かりません。 (3)に至っては見当もつかない状態です。 よろしくお願いします。
- taropoo
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こんにちは。 解答を書きますね。 (1)これは,求めるものを言い換えていくのがポイントです。 {xn=vである}={n枚がすべてv以下}かつ{vのカードが少なくとも一回はでる}={n枚がすべてv以下}-{vが一回もでない}={n枚がすべてv以下}-{n枚がすべて(v-1)以下} となるので求める場合の数は v^n-(v-1)^n となります。n枚の出方すべての数はN^nなので,求める確率は P(xn=v)=(v^n-(v-1)^n)/N^n となります。これで,taropooさんの予測ともあいます。 (2)これも(1)と同様に言い換えをします。 {yn=uである}={n枚がすべてu以上}かつ{uのカードが少なくとも一回はでる}={n枚がすべてu以上}-{uが一回もでない}={n枚がすべてu以上}-{n枚がすべて(u+1)以上} となるので,求める場合の数は (n-u+1)^n-(n-u)^n となります。よって求める確率は P(yn=u)=((n-u+1)^n-(n-u)^n)/N^n となります。 (3)これは(1)で求めた結果から,期待値の定義に当てはめればよいと思います。 E(xn)=1*P(xn=1)+2*P(xn=2)+3*P(xn=3)+…+N*P(xn=N) =… うーん,この計算はちょっとめんどくさいので,一度自分で考えてみてください。 とまあ,最後はいい加減になってしまいましたが,こんな感じだと思います。
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- shushou
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(1)について ちょっと考えると 最大値がνとなる場合の数= (すべてがν以下)-(すべてがν-1以下) と、とらえられることが分かると思います。 したがって、求める確率は (ν^n-(ν-1)^n)/N^n だと思います。 (2)は(1)と同じように考えられます。 (1)が分かったので(3)は大丈夫ですね。
お礼
言われてみればその通りですね。 納得です。 > (1)が分かったので(3)は大丈夫ですね。 大丈夫じゃないです(ρ_;) 現在奮闘中。分からなければ別質問で投げてみます。 ありがとうございました。
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お礼
(1),(2)、良く分かりました。 実はよーく見ると > taropooさんの予測ともあいます。 あってないんです。;-P 甘かったです。 (3)については現在奮闘中です。 分からない場合には別質問として投げてみようと思います。 ありがとうございました。