実数

確かに！
私も問題の読み間違い＆場合分けのずさんさがありました・・・
すみませんでした。

投稿日時 - 2004-05-21 00:13:24

#5です。

解法としては#4さんが正解ですね。
#3さんの答えがなぜ食い違っているか説明しておきます。

>pは実数⇒判別式/4=2^2-4k(2k+1)=-8k^2-4k+4が平方数

ここがおかしいです。
判別式が平方数というのは、解の公式の平方根が外れるだけで、実数条件の全てではありません。
（有理数である条件、と言えるでしょうか）
pは実数ですから、√が外れる必要性はないため、この条件を追求しても意味がない訳です。

投稿日時 - 2004-05-19 18:03:04

#1です。

そうでした。pは整数とは限らないことを忘れてました。

#3の方のように、(4p+1)/(4p^2+2)=k（kは整数）とおくと、
　4kp^2-4p+2k-1=0・・・※
となる。

１．k=0のとき
※は、-4p-1=0となるから、p=-1/4である。

２．k≠0のとき
※はpの２次方程式となり、実数解を持つから、
判別式=-32k^2+16k+16≧0
2k^2-k-1≦0
(2k+1)(k-1)≦0
-1/2≦k≦1

kは整数(≠0)なので、k=1
このとき、※は4p^2-4p+1=0となり、(2p-1)^2=0なので、p=1/2である。

以上により、p=-1/4, 1/2

投稿日時 - 2004-05-19 01:01:34

これはかなり難しいですね。

> (4p+1)/(4p^2+2)
となりますが、

> 分子は奇数、分母は偶数なので、整数にはなりません。
というのは必ずしも言えません。理由はpは整数ではなく「実数」なので。

(4p+1)/(4p^2+2)=k（kは整数）とおく。
※整数の値がなになのかわからないので、とりあえず文字で置いてみる。

4kp^2-4p+(2k+1)=0…(*1)（分母を払っただけ）

pは実数⇒判別式/4=2^2-4k(2k+1)=-8k^2-4k+4が平方数
（2次方程式の整数（実数）解問題の定石の1つ）

ここで、-8k^2-4k+4=-8(k^2+(1/2))^2+6≦6

したがって、-8k^2-4k+4は６以下の整数（整数なのはkが整数だから）でかつ平方数なので、0,1,4以外にはありえない。

（一般に平方数は無限にあるが、2次式で2次の係数が負⇒値の上限が押さえられる⇒平方数が有限個に絞られる・・・これも2次方程式の整数解の定石の１つ）

あとは、それぞれの場合を考えてkの値を求め、それを(*1)に代入することでpを求める。
p=-1/2, 1/4, 0, -2が答えだと思います。

投稿日時 - 2004-05-19 00:38:13

α+βとαβから
（αーβ）^2
=α^2-2αβ+β^2
=(α^2+2αβ+β^2)-4αβ
=(α+β)^2-4αβ
=(2p)^2-4(p^2-2p-1)
ポイントは３行目ですね。これとα+βを代入して整理すると、問題の式はかなり簡単になります。
P/(P^2+1/4)=mとおく。ｍ：整数
この式がＰについて実数解を持つための条件を調べます。

変形するとＰの２次方程式になります。これが実数解を持つ条件は、分かりますね。ｍの値が決まります。求まったｍに対してｐを求めれば終わりです。

投稿日時 - 2004-05-18 23:58:50