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三角関数について

(cos(2/7π))^(1/3)+(cos(4/7π))^(1/3)+(cos(8/7π))^(1/3)の解答を 途中式を含めて教えて頂きたいです。 先生に「解いてみる?」という雰囲気でメモを渡されたのですが、 まったく解けずに困っています。 一応、高校三年生IIICまでは勉強していました。

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  • staratras
  • ベストアンサー率40% (1426/3487)
回答No.2

以下の回答はすべて実数の範囲だけで考え、三角関数表などは使わずすべて代数的な計算だけで求めています。関数電卓で直接計算した値と一致しますが、あまりエレガントな解法ではありません。負の数の3乗根はa^(1/3)=-(|a|)^(1/3)とします。 a^3=cos(2/7π),b^3=cos(4/7π),c^3=cos(8/7π) とおく、最終的な目的はa+b+cの値を求めることです。明らかにa^3>0.b^3<0,c^3<0でa^3+b^3+c^3<0です。 単位円上の点A(1,0)を一つの頂点とし、反時計回りに2π/7ずつ円周上に点B,C,D,E,F,Gをとると、ABCDEFGは正7角形となるから、 1+cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(6/7π)+cos(8/7π)+cos(10/7π)+cos(12/7π)=0 図の対称性から1+2(cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(8/7π))=0 よって a^3+b^3+c^3=cos(2/7π)+cos(4/7π)+cos(8/7π)=-1/2 …(1) また半角の公式からa^6=(1+cos(4/7π))/2=(1+b^3)/2.b^6=(1+c^3)/2,c^6=(1+cos(16/7π))/2=(1+cos(2/7π))(1+a^3)/2 …(2)(3)(4) (a^3+b^3+c^3)^2=a^6+b^6+c^6+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)に代入して整理すれば、a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=-1/2 …(5) さらに(2)(3)(4)を辺辺かけあわせて整理すれば、a^6b^6c^6=1/8(a^3b^3c^3) したがってa^3b^3c^3(a^3b^3c^3-1/8)=0 a^3b^3c^3≠0 より a^3b^3c^3=1/8 よってabc=1/2 …(6) ここで(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc に(1)(6)を代入し、a+b+c=x、ab+bc+ca=y とおいて整理すると x^3-3xy-2=0 …(7) また(ab+bc+ca)^3=a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+3(ab+bc+ca)(a+b+c)abc-3a^2b^2c^2についても、同様の計算をすると  y^3-(3/2)xy-5/4=0 …(8) (7)(8)からyを消去しさらにx^3=Xとおいて整理すれば 4X^3-30X^2+75X+32=0 この方程式は幸い 4(X-5/2)^3=-189/2 と立方完成(?)できるので 実数解を求めると X=(5-3*(7)^(1/3)))/2 したがって x=((5-3*(7)^(1/3))/2)(1/3)≒-0.7175150796… 答え (cos(2/7π))^(1/3)+(cos(4/7π))^(1/3)+(cos(8/7π))^(1/3) =((5-3*(7)^(1/3))/2)(1/3)≒-0.7175150796…

modesetsu
質問者

お礼

詳しくお答えいただきありがとうございました! 解答をみながら一応計算を追うことができました。

その他の回答 (1)

  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1707)
回答No.1

cos((4/7)π)=-cos((3/7)π)<0, cos((8/7)π)=-cos(π/7)<0 となるけど a<0のとき a^(1/3)の値をどのように扱えばいいですか? 高校数学の範囲では未定義となって計算不能となります。 大学数学レベルで考える場合には、以下の計算方針を出題者に問いたい。 あくまで実数の範囲で考えるのか?その場合 a^(1/3)=-(|a|)^(1/3)で計算すれば良いか?   複素数の範囲で考えるのか? 複素数の範囲で考える場合は、 a^(1/3)の値が複素解3つ存在するけど、どの値で計算するか? 全ての複素解の組み合わせについて計算するのか? について明らかにしていただく必要があります。

modesetsu
質問者

お礼

お礼が遅くなってすみません! 先生に聞きに行って解決しました!ありがとうございました。

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