• ベストアンサー

背理法について

次の命題を考えます n^2が偶数⇒nは偶数 「これを証明するために背理法を用いてこの命題の否定であるn^2が偶数∧nは奇数が真であると仮定して、 矛盾を導く。 今、nは奇数なのであるkが存在して2k+1と表せる。(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1より、n^2は奇数。 よってn^2が偶数∧nは奇数のn^2が偶数という条件と矛盾。 よって命題はただしい。(方針はこれでお願いします)」 ここで、n=2のとき、上同様に証明してみるとおかしなことに命題の否定が真になってしまいます。 2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、2が奇数なので2^2=4より偶数よって2^2が偶数∧2は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒2は偶数は偽になる(?) これはどこがいけないのでしょうか。 一般のnが証明できたからn=2の時も成り立つのではないのでしょうか。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.16

>(1)の命題はtknakammuraさんが言っている >「 p が偽なら p⇒q は真のこと?」のpに相当すると >わたしは考えています。 p→qが真になると生じる不都合はなんでしょう? 証明では、qは n^2は偶数。 で p→qとp→否定qが同時に導かれます。つまり仮定が真なら n^2は偶数であると「同時に」奇数でなければならない。 つまりpは常に偽でなけれぱならない。 ということです。pが常に偽なら、p→qもp→否定qも真 ですが、前提条件pが恒偽なので何も意味しません。

doragonnbo-ru
質問者

お礼

混乱してきたので、また質問内容をまとめて改めて質問したいと思います。 とりあえず一番最初の疑問は解決しました。またお願いします。 ありがとうございました。

その他の回答 (15)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.15

念の為確認しておきたいんだが, あなたのいう 矛盾 ってなに?

回答No.14

>偽をかていすればどんな命題も真理表から真になるのでは? おっしゃっていることが意味不明ですが ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと? で、それと今回の質問とどうつながるのですか? 一応証明をまとめておくと ・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します。 ・n が奇数なら n = 2k + 1 (kは正数) ですから  n^2 = 4k^2 + 4k + 1 は奇数で仮定と矛盾します。 以上から ・n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在する  は偽です。 従ってその否定の ・どんなn に対しても n^2 が偶数 ならば n が偶数 は真です。 まあこの場合、対偶証明で十分ですけどね。

doragonnbo-ru
質問者

補足

>ひょっとして p が偽なら p⇒q は真のこと? はい、まさにそうです >それと今回の質問とどうつながるのですか? tknakamuraさんがまとめた証明の一行目の 「n^2 が偶数 かつ n が奇数の n が存在すると仮定します」 のことです。この命題を(1)の命題とする。 なぜなら本来n^2が偶数⇒nは偶数は真なのでこれの否定の命題((1)の命題)は偽ですよね?偽の命題を真と仮定したが本当は偽。 それでこの偽の命題の下何かを導いているのだからどんな命題も真になっていしまうのではないかと思っています。 (1)の命題はtknakammuraさんが言っている「 p が偽なら p⇒q は真のこと?」のpに相当するとわたしは考えています。 度々すみませんが、どうかよろしくお願いします。

回答No.13

>おかしな事が起きているのは何故かということです。 2を奇数だといい張っていることです。 nが奇数だと仮定することは、n が 1, 3, 5 などの値をとるということです。 2を奇数だと言い張ることではありません。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.12

かつ とか または とか を意識しなくても 背理法による 証明はできるからです。

回答No.11

ちなみに、正確な否定は n^2が偶数∧nは奇数が真 となるnが一個以上存在する。 です。

回答No.10

背理法とは命題Aを証明したいとき 命題Aの否定を仮定して矛盾を導くもので質問者様の やり方はまっとうですよ。 また証明すべき命題が p→q という形にいつも なるわけでもないです。 例 √2が無理数、であることを証明せよ

doragonnbo-ru
質問者

補足

偽をかていすればどんな命題も真理表から真になるのでは? つまり、矛盾が導かれないのでは?

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.9

>pならばqの否定で出てきます p⇒qの真理値が¬p ∨ qに等しいことを使って、 否定がp ∧ ¬qである、と考えられているのですね。 背理法の基本は、 p⇒q を証明する際、結論であるqを否定して 話を進めていったときに 前提として正しいとされているpと 矛盾が生じるから p⇒q が真であるといえる、というものです。 真理値表は関係ないです。

doragonnbo-ru
質問者

補足

関係ないという根拠はなんでしょうか 偽の命題を仮定したので、あらゆる命題がこの仮定のもとでは真になると思いますが。 よろしくお願いします

回答No.8

nに奇数を選ぶと矛盾するという論理で n= 2 は変。そもそも n^2は偶数→nは偶数 の証明とは任意のnで命題が真になることを示すこと。 個々の例の真偽は個別判定すればよいです。。 2^2は偶数、2は偶数。ここに2は奇数などという 奇妙な論理が入り込むことはありません。

doragonnbo-ru
質問者

補足

確かにそれも一理ありますが、一般のnでの証明のnに2を代入しても成り立つはずですよね? でも実際代入してみると、私が質問したように おかしな事が起きているのは何故かということです。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6286)
回答No.7

もともとの命題に かつ という概念が登場していないのに 否定したとたんに登場するのが さっぱりわかりません。

doragonnbo-ru
質問者

補足

pならばqの否定で出てきます

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.6

「背理法」が何かというのは「証明」そのものの根幹にかかわるので微妙だったりします>#4. ちなみに 2^2が偶数⇒2は偶数を証明するためにこの命題の否定である2^2が偶数∧2は奇数が真であると仮定して、2が奇数なので2^2=4より偶数よって2^2が偶数∧2は奇数はしんになり、2^2が偶数⇒2は偶数は偽になる(?) 自体は... えっと, 「2が奇数なので2^2=4より偶数」が意味不明かな. ・「なので」がどこから出てくるのか不明 ・「何が」偶数だといっているのかが分からない というあたり. 最初と最後だけをつなげば, より正確には 「2^2が偶数」∧「2は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒2は偶数は偽」が導ける という点においてどこも間違ったところはありません.

doragonnbo-ru
質問者

補足

>「2^2が偶数」∧「2は奇数」を仮定すると「2^2が偶数⇒2は偶数は偽」が導ける 確かに導けますが、背理法は命題の仮定から矛盾を導かなければならないのに、これじゃあおかしくないでしょうか。 あともう一つなんですが、前回の質問で、偽の仮定をしたら、どんな命題も証明できてしまうとおっしゃっていましたが、確かに真理表を見ればp⇒qの命題はpが偽であればqは何であれ命題はしんになります。 ならば背理法という証明方法自体、偽の命題を仮定している時点で絶対矛盾が生じることはないのではないでしょうか 何回もすみません・・・ どうかよろしくお願いします

関連するQ&A

  • 背理法と命題の否定について

    背理法と命題の否定について 例えばp⇒qを背理法を用いて証明するとき、p⇒qの否定を仮定すると、すなわち、pであってqでないものが存在すると仮定すると矛盾が生じるから、(否定が偽ならもとの命題は真であるから、)p⇒qである。ということなんですよね? では、「nが自然数のとき、n(n+2)が8の倍数ならばnは偶数である」を背理法を用いて証明するとき、冒頭の文は、「nが自然数、n(n+2)が8の倍数であり、奇数であるnが存在すると仮定する。」というのでいいんですよね? 普通参考書などではもっと簡潔に「nが奇数であると仮定する。」などと書いてあるのは、わざわざ長々と書かなくてもわかるからということなのでしょうか? しかしこの書き方だと、「全てのnが奇数であると仮定する」と言っているようにも取れるように思うのですが… p⇒qの否定は決して「p⇒qの余事象」ではないですよね? 自分の解釈に自信がもてなくて… 間違っているところがありましたら、ご指摘お願いします。

  • 背理法について

    今、学校の数学で背理法というのをやっているのですが、はっきり言って高校でやったきた問題の中で一番難しいというほど困っています。一応説明では「その命題が成り立たないと仮定すると矛盾が生じる。したがって、その命題が成り立たなければならない」という説明なのですがだいたい言っている意味はわかります。でも、実際に使って問題を解いてみると全くと言っていいほどできません(汗 仮定したあとに文字が出てきてそれを2乗したりなどなど… 背理法というものはだいたいわかったつもりだったのですが実際に使ってみると全然できなくて…途中の文字を用いて証明するところなど「どうしてこうなるの?」みたいなところばかりで全然前に進みません。 例えば、「自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすならばa,b,cのなかに必ず偶数があることを背理法を用いて説明せよ」とい問題なのですが、解答を見ると、a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cがすべて奇数であると仮定すると、とあります。 どうもこのあたりの否定の置き方というのがよくわからないのです。必ず偶数がある、というのがすべて奇数であるになるのがさっぱりです。この辺りは国語的なものかもしれないのですが、このあたりでかなり苦戦しています。どなたか背理法を説明していただける方などおられましたらご回答お願いできないでしょうか?よろしくお願い致します。

  • 背理法

    2つ聞きたいことがあります、よろしくお願いします。 P→Qで (1)背理法と命題の否定(P⊂Qの否定)が偽であることを証明することは同じことなのでしょうか? (2)背理法で証明する場合、Q(バー)と仮定するが、P(バー)を仮定するとなぜだめなのでしょう? よろしくお願いします。

  • 背理法について

    「a^2+b^2=c^3ならば、a、b、cのうち少なくとも1つは偶数である」 (pならばq) という命題を証明するために背理法を使います。 すると 「a^2+b^2=c^3という条件のもとで a、b、cはすべて奇数である」(pかつ¬q)と仮定することになると思います。 この仮定に矛盾が生じれば背理法が成立しますが この仮定に矛盾が生じるのは 「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (¬qならば¬p)が証明されたときだけなのでしょうか? まだ論理について勉強しはじめたばかりで記号があまり理解できないので 記号は使わずに説明していただけると助かります。

  • 「真偽の決定不能」と「背理法」の関係は?

    数学入門の本を読んでいて「ある数学体系のもとで与えられた命題には、その数学体系の範囲では真偽を決定できないものがある」という記述が目に留まりました。この話と教科書で習った背理法とは矛盾しないのでしょうか? 「真と偽のどちらかである」と言えないなら、「偽と仮定して矛盾が生じた」としても「よって真」とは言えなくなります。あるいは、教科書で扱っているような問題は「真か偽のいずれであるか決定できる」ということが証明できるものであり、しかしその証明は省いて背理法の部分だけ記述してある、ということなのでしょうか?

  • 【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その

    【背理法とは】命題に対して、偽の仮定を立てて、その仮定の矛盾を指摘することで命題の真を証明する。 例------- 「 5円玉には穴が空いている。 5円玉には穴が空いていない。 けど手に持っている5円玉には穴が空いている。 よって5円玉は穴が空いている。 」 これって証明になりますか? これは例え方が悪いから説得力がイマイチ感じられないだけ? 例が下手くそすぎ? どうやったら説得力が増すのか背理法の書き方のコツを教えてください。

  • 背理法

    問題 背理法を用いて、次の命題が真であることを示す。 命題:”√3は無理数である” ここで、背理法による証明はP→q や qであるが真であることをいうためにはまず ̄q(qではない)と仮定して矛盾を示すのでこの問題では、 √3は有理数であることを仮定しますが、 ここで有理数ということなので、整数、分数と改定しますが、なぜ既約分数で表すのでしょうか? 有理数は整数でもよいので 例えば、3やー4でもよいのでは? そこのところを教えてください。 疑問です。

  • 背理法の必要十分性について

    背理法の必要十分性(正しさ?)について教えてください! つまり、背理法でP⇒Qを証明するにあたり、題意の命題が真であることは前提としてよいのでしょうか??そうでなければ、たとえばP∧(Qの否定)から矛盾が生まれたとしても、命題が真とは言えないはずでは??(集合の考え方で、(P⇒Q)⇔(P⊆Q)を考えれば明らか)

  • 背理法と対偶法について

    少し長くなるのですがお願いします。 私の使用している参考書に 「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。 命題p→qが真であることをいうために¬q(qでない)と仮定して¬pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも¬qならば¬pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」 と書かれていて この部分の意味がわからなかったので出版社に問い合わせました。 すると、このような回答を頂きました。 -------------------------------------------------------------------- 背理法は、 「pという前提条件下で、結論のqを否定して、¬qと仮定すると、矛盾が生じる。よって、p⇒q」とする論法ですね。対偶法において、この矛盾に相当するものが、 「¬pかつp」という矛盾です。なぜなら、¬q⇒¬pを示すのが対偶法だからです。 つまり、対偶:¬q⇒¬pが示されれば、この時点で「¬pかつp」という矛盾が生まれ、背理法が成立したことになります。 -------------------------------------------------------------------- 私は以前、この事に関する質問をここでして回答をいただいたのですが その時に頂いた回答をもとに考えたのがこの考え方です。 ---------------------------------------------------------------------- 「pならばq」を証明しようとしていて 「pならばq」に背理法を使って「pであって¬q」と仮定する。 その過程で「対偶 ¬qならば¬p」が証明できたとする。 「pであって¬q」と仮定しているのに対偶 ¬qならば¬p なので pではないため矛盾する。  よって「pならばq」は真である。 命題の対偶が証明された場合、普通は自動的に命題が真であると考えますが この説明文では 「命題の対偶が証明されたあと、背理法を使って命題が真であることを証明することになるので 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る」 ということが書かれている。 -------------------------------------------------------------------------- 出版社から頂いた回答と、この自分の考えが 合っているのか自信がもてません。 出版社にはこの事以外にも色々質問していて、何度もメールしづらいのでここで質問させてもらいました。 よろしくお願いします。 

  • 対偶による証明法と背理法による証明について

    数学Iの内容なのですが自分の使っている参考書に 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る。 命題p⇒qが真であることをいうために¬qと仮定して¬pが導かれたとする。 pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。 でも¬q⇒¬pとは文字通りこれは対偶のことで、これが真と言えたから 自動的に元の命題が真といってもいい と書いてあるのですが、色々な所で質問してみたのですが どうしてもあまり理解ができません。 (1)命題p⇒qが真であることをいうために¬qと仮定して¬pが導かれたとする 導かれた形は¬q⇒¬p 背理法の仮定の形では¬q⇒p (2)pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる この導かれた形が¬q⇒¬pで命題の対偶の形をしていて それによっても命題が真であることが示されているから 対偶による証明法も一種の背理法と考えることが出来る、と書かれているのでしょうか?