複数の関数からなる関数

質問

教えてください。
化学系卒なので数学の知識は深くありません。

［A］と［B］からなる[C]という要素があったとします。

［A］は、［A］を構成する「x」により、A=f(x)で表されるとします。
同じく
［B］も、［B］を構成する「y」により、B=g(y)で表されるとします。

さて、ここで［C］ですが
[C]は［A］と［B］より表現できる（はず）ので、

「C=h(f(x)，g(y))」の形で表したいのですが、やり方、手順等々がわかりません。

C=h(f(x)，g(y))　と抽象的？に書くのではなくて、
具体的中身のある関数形で表現できるようにしたいです。

f(x)とg(y)が互いに独立であれば、【　C=a*f(x)+b*g(y)+c 】でよいかと思いますが
「a」と「b」の数値の出し方がわかりません。

[a*f(x)]*［b*g(y)]や、[a*f(x)]^［b*g(y)]，[a*f(x)]*e^［b*g(y)]だったりすると
もうお手上げ状態です。

これら複数の関数がどう位置づけられるか、
このようなことを得意とするツールがあればご教授ください。
（フリーであればなお助かります。）

また、上記のf(x)やg(ｘ）を出すのに、エクセルの近似式を使っていますが
限界を感じています。
カーブフィッティングや近似式を計算してくれるツール等があれば
併せてご教授くださいますようお願いいたします。

以上、よろしくお願いいたします。3

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

fを決めるには、2つの数値からなるデータ(x[i], A[i]) がL組(i=1,2,…,L)あって、これに合うように、つまり
　　f(x[i])≒A[i]
になるように、（たとえば一次式として）決めた。gもデータ(y[i], B[i]) (i=1,2,…,M)に基づいて決めた。
…ということじゃないでしょうか。

　当然ながら、Cについても同様に、(A[i], B[i], C[i]) (i=1,2,…,N)という3つの数値からなるN組のデータがなくては話が始まらない。（C=h(f(x)，g(y))なんてお書きですが、「CはAとBで表現できる」と仮定するのですから、必要なのはA, Bの値であって、xやyなんかどうでも良いのです。）これをまずは表計算ソフトに入力して、3次元グラフとしてプロットしてみる。また、このデータのC[i]のところを log(C[i])に差し替えたり、あるいは exp(C[i])に差し替えたりもしてみる。
　で、あんまり急峻な部分が現れないようなら、C（あるいはlog(C), exp(C)）を多項式モデル
　　h(A, B) = a[0,0] + a[1,0] A + a[0,1] B + a[1,1] AB + a[2,0] A^2 + a[0,2]B^2 + …
で近似することを試みると良いでしょう。係数a[j,k]の計算には、線形最小二乗法を使います。
　モデルhの項の個数はデータの数Nに比べてうんと少ないのが良い。最初は0次近似
　　h(A, B) = a[0,0]
で考えてみて、これじゃ駄目だというのなら、1次近似
　　h(A, B) = a[0,0] + a[1,0] A
とか
　　h(A, B) = a[0,0] + a[0,1] B
とか
　　h(A, B) = a[0,0] + a[1,0] A + a[0,1] B
を考える。これでも駄目なら…、という風に項の個数をだんだん増やして行きます。あんまり欲張らず、項の数を増やしすぎないようにするのがポイントです。
　項の数をどのぐらいにすればいいか、ということを客観的に調べる方法としてはAIC（赤池の情報量規範）というものがあります。

　実際の計算は表計算ソフトを使いこなしさえすれば十分できるんですが、どう使いこなすかは（ウラワザがどうとか、そういうセコい話ではないので）説明はちょっとしんどい。（上記のような、数値3つでひと組のデータがどっさり準備できているのなら、説明してもいいですが。）
　その場しのぎではなく、今後も応用が利くように最小二乗法の基本を一通りキチンと学ぶ意思がおありなら、教科書で勉強なさるべきです。お薦めは、中川・小柳「最小二乗法による実験データ解析」（東京大学出版会）。