log2=0？

質問

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…
より
log2=1-1/2+1/3-1/4…
=(1+1/3+1/5+…)-(1/2+1/4+1/6…)
=(1+1/3+1/5+…)+(1/2+1/4+1/6…)-2(1/2+1/4+1/6…)
=(1+1/2+1/3+…)-(1+1/2+1/3+…)
=0
この結果は明らかに誤りですよね。しかし、途中式の間違ってる部分が分かりません。教えてください。

回答No.8

fusem23

項の数は偶数としておきます。

Σを使って厳密に計算してみると
　log(2) = lim[n→∞]Σ[k=1,2n](-1)^(k+1)/k
　= lim[n→∞]{Σ[k=1,n]1/(2n-1)-Σ[k=1,n]1/(2n)}
　= lim[n→∞]{Σ[k=1,n]1/(2n-1)+Σ[k=1,n]1/(2n)-2Σ[k=1,n]1/(2n)}
　= lim[n→∞]{Σ[k=1,2n]1/n-Σ[k=1,n]1/n}
となり、最後の結果の"=0"だけが誤りです。

途中から省略する記法により１項目と２項目が同じと思ったんでしょうが、
総和を使うと違いが分かると思います。

回答No.7

noname#195146

log2=1-1/2+1/3-1/4…
=(1+1/3+1/5+…)-(1/2+1/4+1/6…)　←アウト１
=(1+1/3+1/5+…)+(1/2+1/4+1/6…)-2(1/2+1/4+1/6…)　←アウト２

　アウト１でもう駄目なんですが、一応、次のアウトも。二つも間違った式変形では、後は見る必要すらありません。

>この結果は明らかに誤りですよね。しかし、途中式の間違ってる部分が分かりません。教えてください。

　無限大を計算に使ったからです。無限大を単純に四則演算すれば、どんな結果だって出せます。だから、数学では基本として無限大を数のように扱うことを禁じています（厳密な定義をして部分的に許すことがあるが、この質問とは無関係なので割愛）。

　(1+1/3+1/5+…)は+∞です。同様に(1/2+1/4+1/6…)も+∞。こんなものを普通の数のように計算しては駄目です。上記引用部分を∞を使って書き直してみましょう。

log2=1-1/2+1/3-1/4…
=∞-∞
=∞+∞-2∞

　無意味な式変形と言うしかありません。もっとシンプルな例で、ちょっとやってみましょう。

　∞＋1＝∞　（どう定義しても、無限大にどんな有限の数を足しても無限大であることは確か）
∴∞－∞＋1＝∞－∞　（無限大が数として計算できるなら、両辺から引けるはず）
∴1＝0　（ある∞が別の∞と等しい、つまり∞が数同様なら∞－∞＝0になるはず）

　もちろん、こんなものは成り立ちません。一見して矛盾するような結果が出たのは、無限大を計算した、その一点に尽きます。

P.S.

　似たような別の例では、0を使うものがあります。a＝bとしておいて、ある式の両辺を(a－b)で割って、一見すると矛盾するような結果を出すのと似ています。要は3×0＝2×0の両辺を0で割って、3＝2とするような手品です。0がa－bと書かれているので、気が付きにくいことがあるだけ。

回答No.6

noname#221368

考え方なのかも知れませんが、けっきょく#4さんの言う事情があるために、#2さんの態度は妥当だと考えられます。

　条件付き収束の項順を任意に変えれば、任意の値に収束させられるという定理は本当にあります。だからこそ、x＝1では、「log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…」の右辺を使っちゃいかん、と考えるわけです。

　右辺は和としての意味が破綻していると。ではどうするか？。

　解析接続を使いますが、このような場合はとても簡単で、log(2＋x)をx＝2を中心に、展開し直すだけです。その結果を、x＝1を中心とした結果とつなげます（接続する）。実用的には、とてもやっかいですけどね(^^；)。

回答No.5

gomagoma427

Ｎｏ．２ですが、私の回答が間違っていました。申し訳ございません。
Ｎｏ．４の方の回答が正しいです。

回答No.4

麻野 なぎ（@asano_nagi）

さて、

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + .... は発散します（これは、練習問題によく出てきますね）

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - .... は確かに log(2) に収束します。

このように、全ての項を足すと発散するが、足したり引いたりすると収束する級数は、「条件収束する」といいます。

※正しくは、 Σ(a(n)) が収束しても、Σ|(a(n))｜ が発散するものを「条件収束する」といいます。

で、実は、「条件収束する級数は足す順序を入れ替えてはならない」という大切な性質があります。
（しかも、任意の数に収束するように並び替えることができるという定理まであるようです）

なので、「条件収束する級数の項を入れ替えているのが間違い」が正解です。

回答No.3

info222_

>=(1+1/2+1/3+…)-(1+1/2+1/3+…)
↑　間違い

正：=(1+1/2+1/3+…)-2(1+1/2+1/3+…)

後ろのカッコ（　）の前の２倍が抜けてた。

回答No.2

gomagoma427

計算過程は間違っていないと思います。

結果が誤っているのは、そもそもの前提である

log2=1-1/2+1/3-1/4…

が誤りだからです。logのテイラー展開

log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-…

が成り立つのはxの絶対値が１より小さいときです。
これ以外の場合（厳密にはもっと条件があったような気がしますが）はテイラー展開の剰余項がnを大きくしても０に収束しないために上の式が成り立ちません。

したがってｘ＝１の場合、つまりlog2は上のように展開しないのです。
それ以降の計算は合っていますが、最初のところで等式が成り立っていなかったために矛盾が生じました。

回答No.1

Tacosan

全体におかしいけど特に
log2=1-1/2+1/3-1/4…
=(1+1/3+1/5+…)-(1/2+1/4+1/6…)
の部分.