簡単な数学が関わる英語文献の和訳をお願い致します。

質問

進化的に安定な戦略に関する文章です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%B2%E5%8C%96%E7%9A%84%E3%81%AB%E5%AE%89%E5%AE%9A%E3%81%AA%E6%88%A6%E7%95%A5

全部で２ページ有ります、
１ページ目
http://iup.2ch-library.com/i/i1173313-1397649133.jpg
２ページ目
http://iup.2ch-library.com/i/i1173321-1397649343.jpg

もしも英語と少しの数学の知識をお持ちの方がいらっしゃいましたら、
情けない話ではあるのですがお助け頂けると有り難いです。。。

回答No.4

drmuraberg

この条件は、しかしながら、十分ではない。十分な条件を得るために我々は、突然変異遺伝子型yに
付いて、数式（8.3.2）が等号付きか、それとも完全な不等式として成り立つかに応じて、
2つのケースを区別することとする。
もし（8.3.2）が完全な不等式として成り立つのであれば、何の問題も無く、
双線型形式の連続性が、(8.3.1)が全ての十分に小さな値rについて成り立つ
ことを保証している。
（8.3.2）が等号付きで成立つと想定もできる。この場合、我々は（8.3.1）を
次のように書直す。
　　　 rxAy^T + (1-r)xAx^T >ryAy^T + (1-r)yAx^T.

しかし、xAx^T = yAx^Tであるので、この不等式の両側にある第二項は
相殺され、残るのは
　　　 rxAy^T>ryAy^T

又は、r>0なので
　　　　xAy^T>yAy^T

となる。この条件は十分なものとなる。

Ｎｏ．２の方の回答をお借りしました。

回答No.3

drmuraberg

より一般的には、進化システムは双行列ゲーム（A,A^T）であり、ここに
Aは何らかの正方行列である。

このゲームに関しては、ある遺伝子型は何らかの混合戦略 x=(x1,・・,xn)
である。もし x がある既存の遺伝子型ならば、それに何らかの異なる
（突然変異）遺伝子型、y≠ x、が侵入を試みるかもしれない。

もしそうならば、rをある小さな正の数とすれば、環境が、x から
ry+(1–r)xへと僅かに変化する。
次いで、x は y を、全ての十分に小さなr>0に付いて、押し
退ける事ができ、
　　　　　 xA(ry+(1-r)x)^T > yA(ry+(1-r)x)^T (8.3.1)
【が成立する。】
これが我々の定義へと導く。

VIII.3.1 Definition （定義）
(A, At)を進化的システム（対称行列ゲーム）としよう。もしy≠ xで、
全ての 0<r<δに付いて(8.3.1)が成立する、【任意の】δ>0が存在する
ならば、混合戦略xは進化的に安定な戦略（E.S.S）である。

どうしてこれが機能するかを見るには、我々は最初に、数式（8.3.1）が
全ての小さな正の数rに付いて成り立つ事に留意し、連続性により
　　　　　　　　xAx^T ≥ yAx^T 　　　　　　　(8.3.2)

つまり、プレーヤIの戦略としては、xはプレーヤIIの戦略としてのxに
対して最適な応答となる。ゲームの対称性（つまり、B=A^T【T転置行列】
なので）により、xはプレーヤIIに対する【プレーヤ】Iの選択xに
対しても最適な応答となる、すなわち、(x;x)という戦略対は均衡状態に
ある。ゆえにxが進化的に安定な戦略となる必要条件は、(x;x)が均衡ペア
であることである。

【　　】内は補足です。
2ページ目は意欲が有りません。悪しからず。

補足

VIII.3.1 Definition （定義）
(A, At)を進化的システム（対称行列ゲーム）としよう。もしy≠ xで、全ての 0<r<δに付いて(8.3.1)が成立する、【任意の】δ>0が存在するならば、混合戦略xは進化的に安定な戦略（E.S.S）である。

ここの場所で、なぜδを定義する必要があったのでしょうか？

回答No.2

ddeana

お待たせしました。2ページ目です。数式に関しては基本そのままです。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
しかしながらこの状態は十分ではない。十分な条件を得るために我々は、数式（8.3.2）が等式と共に成り立つか、それとも狭義の不等式と共に成り立つかに応じて、突然変異遺伝子型yについて2つのケースを区別することとする。
もし（8.3.2）が狭義の不等式と共に成り立つのであれば、何の問題も生じない。双線型形式の連続性により、(8.3.1)は差が出ないほど必要十分な小さなrの値すべてについて成り立つことが担保される。
また一方、（8.3.2）が等式と共に成り立つと仮定しよう。この場合、我々は（8.3.1）を次のように書き直すこととなる。
　　　 rxAy^T + (1-r)xAx^T >ryAy^T + (1-r)yAx^T.
しかし、xAx^TはyAx^Tと等しいので、この不等式の両側にある二番目の項目は相殺され、残るのは
　　　 rxAy^T>ryAy^T
もしくは、rが0よりも大きいので
　　　　xAy^T>yAy^T
となる。この条件は十分なものとなりえる。

回答No.1

ddeana

1ページ目だけ先に回答します。2ページ目は少々お待ちください。
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もっと一般的に言うと、進化的なシステムとは、(A, A^t)という要素を持つひとつの双行列ゲームであり、Aはあらゆる正方行列（※1）になりえる。このゲームにおいて、Aの遺伝子型はあらゆる混合戦略x=(X1,….,Xn)となる。
もしxが確立された遺伝子型ならば、yとｘが等しくない、いくつかの違う（突然変異による）遺伝子型がゲームに入り込んでこようとするやもしれない。とすれば、ゲーム環境はxからry + (1-r)x（ここでのrは小さな正数）へとわずかに変化する。
そうなれば、ｘは違いが出ないほど小さな（※2）すべてのrが0よりも大きい場合にyを排除することが可能となり、次のような数式となる。
　　　　　 xA(ry+(1-r)x)^T>yA(ry+(1-r)x)^T (8.3.1)
このことが我々の定義へと繋がる。

VIII.3.1 Definition （定義）
(A, At)を進化的システム（対称行列ゲーム）の要素としよう。混合戦略ｘは進化的に安定な戦略（E.S.S）である。ｙがｘと等しくないいかなる場合においても、もしすべてのｒが0よりも大きく、デルタ（※3）よりも小さい場合には、デルタは0よりも大きいように存在し、数式（8.3.1）は成り立つ。
どうしてこうなるかを確認するには、最初に、数式（8.3.1）が全ての小さな正数rにおいて成り立つならば、連続性によって、次のようになることに留意されたい。
　　　　　xAx^T≥yAx^T (8.3.2)
結果、プレーヤー(1)の戦略として、xはプレイヤー（2）の戦略としてのxに対して最適な応答となる。ゲームの対称性（つまり、BがAのT乗と等しいので）により、ｘはプレイヤー(1)のxの選択に対しても最適な応答となる。すなわち、(x;x)という戦略の一対は、均衡が取れているのである。ゆえに進化的に安定な戦略となるｘに必要な条件とは、(x;x)が均衡しているペアであることとなる。

※1：square matrix（正方行列）
行要素の数と列要素の数が一致する行列。　A×A＝A行A列であればA次正方行列といえる。
※2：sufficiently small
数学英語において、sufficiently small= small enough that it makes no differenceという意味です。
※3：δ（小文字のデルタ）
数学に置いては、微小なdifferential（差）を意味します。