長さと極限に関するパラドックス

質問

xy-平面の第一象限で、x 軸上の区間 [0,1] を底辺とする正三角形を考えます。
御承知の通り、二本の斜辺の長さの合計は２です。

では、区間 [0,1/2] と区間 [1/2,1] とをそれぞれ底辺とした二つの正三角形を考えます。
長さが 1/2 の斜辺は全部で４本有るので、それらの長さの合計は、やはり２です。

同様に、元の区間 [0,1] を n 等分して、 長さ 1/n の線分を底辺とする n 個の正三角形を
考えます。 斜辺は全部で 2n 本あり、それらの全体の長さは (1/n) x 2n で、やはり２に
保たれます。

では、n が無限大の極限を考えたらどうなるでしょうか。
これらの正三角形の高さは明らかにゼロに成るので、これらを繋いだジグザク全体は、
x 軸上の線分 [0,1] に収束しますが、全体の長さは２に他なりません。

これは、n が無限大の極限で、全体の長さ２のジグザクは、実は、
長さが１の線分と同一視出来る事を意味してるのでしょうか？　　

もし、ジグザグは特異点が有る為にややこしくなる様でしたら、
正三角形の代わりに、直径が 1/n の上向きの半円と下向きの半円とを交互に、
x 軸上に全部で n 個並べても良いです。それぞれの半円の長さは pi / (2 n) です。

これらを繋げた曲線には特異点はなく、全体の長さはいつも [ pi / (2 n) ] x n = pi / 2 に
保たれます。 この場合には、n が無限大の極限で、全体の長さが pi / 2 の曲線は、
長さが１の線分と 同一視出来る事に成ってしまうのでしょうか？

半円に限らず、長さが 1/n の線分の両端 (k/n, 0) と ((k+1)/n, 0) (k=0,1, …, n-1) を繋ぐ、
長さが q / n（q は１以上の任意の実数）の任意の合同な曲線を n 個考えて、
それらは滑らかに繋がっているとして、n が無限大の極限を考えますと、
全体の長さは q に保たれるので、任意の長さ q > 1 の曲線の極限が、
長さ１の線分と同一視されても、 矛盾は全く起きないのでしょうか。　

もし、こんな簡単に起こるパラドックスが、数学では問題視されてないとしたら、
大変な話だとも思うのですが？

回答No.21

麻野 なぎ（@asano_nagi） · ベストアンサー

もう少し指摘を

> 極限関数 f(x) は至る所でゼロの値を持っているので、当然、至る所で微分可能な筈ですが、
> それが、n → ∞ で得られる、至る所で微分不可能な関数とは一致しないという事ですよね。　

まず、「至る所ゼロ」」という性質は、連続性とも微分可能性とも無関係です。
既に回答したように、fn(x) は、f(x) = 0 に「一様収束する」ことが示されるから、f(x)の存在と、連続性、微分可能性がいえます。

至る所ゼロであるけれど至る所連続ではない関数の例
・ f(x) = {x が有理数のとき、0, x が無理数の時 1｝
（ただし、f(x) は実数上で定義される）

そして、f'_n(x) は、「収束しません」。ゆえに、f'_n(x) の、n → ∞ としたときの関数は、「存在しません」

単純に、fn(x) は、f(x) = 0 という連続関数に一様収束する。
f'_n(x) は、任意の n について定義できるけれど収束しない。

そういうことです。

あと、0.999... という略記についてですが、これも、「9が無限に並んだもの」ではありません。
数学的に「無限に並ぶ」という表現はないので。
あくまでも、
0.9, 0.99, 0.999 という数列の極限を略記したものです。
ですから、
＞１．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『1』999…（1の次は9がまた無限個続く）
＞２．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『2』999…（1の次は9がまた無限個続く）

という表現そのものが、数学的には正しくないです。

ただし、
0.919, 0.99199, 0.9991999, ... の極限値は考えることができます。
同じく、
0.929, 0.99299, 0.9992999, ... の極限値も考えることができます。
いずれも、その値は、正しく 1 になります。

さらに、
0.909, 0.990099, 0.999000999, ... の極限値も考えることができます。
直感的には、「無限個のゼロ」を含むので、1よりちょっと小さい値になりそうですが、これも、間違いなく 1 になります。

任意の n に対して、「小数点以下に、n個の9が並んだものは、そのひとつの桁を他の数字に替えたものよりも大きい」です。
が、「無限個の」と単純に言い換えると、間違いになります。

お礼

asano_nagiへ　
御回答を有り難う御座います。

結局、数列に於いて、極限を取る操作同士の交換、
特に、極限を含んだ微分や積分操作と n → ∞ の極限の操作とを、
交換してはならないという事ですね。

ま、初めて解析を学んだときには理解してたつもりでしたが、
実際問題への応用では、ふと忘れてしまってた様です。

それから、lazydog1 さんの表現に関する指摘も有り難う御座いました。
自分なりに色々解釈しようと試みましたが、やはり、lazydog1 さんの表現は、
誤解を招く表現でしたね。何故、lazydog1 さんは、もっと数学的に、
「数列　0.929, 0.99299, 0.9992999, ... の極限は厳密に１」と、
書かれなかったかも不思議です。　　

asano_nagi さんの御回答 ANo.21 は、ベストにお選び致しました。
asano_nagi さんの他の一連の丁寧な御回答もベストに次ぐのですが、
ベストは一つしか選べませんので、敢えて、ANo.21 を御選びしました。
大変、有り難う御座いました。

回答No.20

noname#195146

#16>御礼のついでの補足は規則違反になるかも知れないとの事で、lazdog1さんの回答に補足。

　回答済み。同じことを繰り返しても何も変わらんよ。

#9>0.999…（既に無限個の9が続いている）…『3』999…（1の次は9がまた無限個続く）のほうが、0.999…（既に無限個の9が続いている）…『2』999…（1の次は9がまた無限個続く）よりも明らかに１に近いと思いますが。

　さすがに呆れてしまう。どちらも同じく1だよ、厳密にね。やはり無限が全く扱えていないようだね。そこは自分で勉強しなさい。

　知識はどこにでもある。ネットにもある。しかし、それを理解すること、分かることは外からは与えられないものなんだよ。個人の脳内の出来事だからね。

　また「今の自分で分かる説明がある」というのは妄想だとも、あらかじめ忠告しておく。そのうち分かるときも来るだろう。

補足

元々の質問者の nicely007 ですが、lazydog1さんの ANo.9 と ANo.20 へ、
レスと補足をさせて下さい。　

＞１．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『1』999…（1の次は9がまた無限個続く）

＞２．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『2』999…（1の次は9がまた無限個続く）

＞どちらも同じく1だよ、厳密にね。やはり無限が全く扱えていないようだね。

実際に、私以外の asano_nagi さんも ANo.11 で指摘なさった通り、
lazydog1 さんの ANo.9 での表現は数学的に認められないでしょうね。

私でしたら、例えば、asano_nagi さんが ANo.21 でも書かれた様に、
「数列 0.929, 0.99299, 0.9992999, ... の極限値」
とするか、或は、　
「数列 a_n = [ 9 x 10^{-1} + 9 x 10^{-2} + … + 9 x 10^{-n} + 9 x 10^{-n-2}
+ 9 x 10^{-n-3} + … + 9 x 10^{-2n-1} ] + 2 x 10^{-n-1} (n = 1, 2, 3, …) の
ｎ→ ∞ の極限は厳密に１。」という風に表現致しますが。　

lazydog1 さんにとっては、こんな２～３行を書くのが難しいんですか？　
lazydog1 さんは ANo.20 で、「さすがに呆れてしまう」と言われましたが、　
それは、lazydog1 さんの主観でしかなく、客観的な評価ではないでしょう？

lazydog1 さんにとっては、誤解を招き易く数学的には認められない表現を
なさって置いて、それを誤解した側を、「無限が全く扱えていない」
と非難なさるのが常套手段なんですか。　

今迄の議論を傍から客観的に見ておられる方なら御分かりの様に、
lazydog1 さんの回答は、数学的には認められない表現をなさったり、
相手を命令口調で威圧なさったりが多いのに比べて、　　　
asano_nagiさんの一連の回答の方が断然ベストですね。

回答No.19

noname#195146

>御回答なさった事への御礼のついでに、ちょっと補足させてください。　　　

　補足は補足欄を使わないと、事務局から削除や編集措置を受けますので注意したほうがいいでしょう。

>何故ならば、貴方が与えられた対応（写像）は、直線 y=1 に対しては特異になると思われるからです。

　y＜1と書いてあるんだが？　y＜1かつy＝1は何になるかすら分からないようだね。

　その後の能書きは前提が間違っている以上、聞くに値せん。同じタイプの間違いをやっているわけだからね。

　ほとんど数学以前で間違えているではないか。しっかりしたまえ。

回答No.18

麻野 なぎ（@asano_nagi）

ちょっとくどいですが、書き忘れた点。

No.13 の記述では、「ある関数列の極限の導関数と、ある関数列の導関数の列の極限は一致する」という誤解がベースにあると思います。
実は、これがいえるのは、「導関数列が一様収束する」ときだけです。
で、「微分 f_n’(x) = cos(2^n x) 」というのは、そもそも収束しませんから（当然一様収束しませんから）、「fn(x)の極限の導関数は、f_n'(x) の極限である」という命題自体が誤りということになります。

お礼

色々の方から回答を頂きまして、感謝しています。　　
中でも、asano_nagiさんの回答が一番分かり易いです。　
「ちょっとくどいですが」とおっしゃいましたが、全然くどくないです。　

結局、無限大を取る操作を交換している事に問題が有りそうです。　　
だから、微分や積分と n → ∞ の極限とが交換出来ないという事だと思われます。　　

極限関数 f(x) は至る所でゼロの値を持っているので、当然、至る所で微分可能な筈ですが、
それが、n → ∞ で得られる、至る所で微分不可能な関数とは一致しないという事ですよね。　

今は、ちょっと書き込む時間が乏しいので、短い文章に成りますが、　
後で改めて、理解した内容を述べたいと存じます。

回答No.17

麻野 なぎ（@asano_nagi）

ちょっと訂正

No.15 で、 (4) は間違いと書きましたが、(4) は正解です。
L_∞ > pi です。これは正解。

ただし、「曲線 y = f(x) 」の長さは、pi です。

これが、「長さの極限値と、極限値の長さは同じとは限らない」ということです。

いろいろ書きましたが、無限とか極限を取り扱うと、直感とは異なることが出てきます。
単に、証明を暗記するのではなく、そういう、「矛盾しているのではないか」という点にぶつかること自体は、むしろ、良いことだと思います。

その上で、直感と異なる部分が、どう折り合いをつけられているのか、それを感じ取ることが、よりいっそうの理解につながると思います。

回答No.16

noname#195146

せっかく幾何学で発想したんだから、幾何学で物凄く簡単な例でも提示してみようか。間接的な対応になるけどね。

　直交するx・y軸があるとしよう。そこに(x, y)＝(0, 1)を中心とする半径1の円を描いてみよう。

　円のうち、y＜1の半円を使い、円の中心からy＜1の方向に半直線を引く。その半直線をy＜1の範囲で回転するよう動かしてみたとき、円のy＜1と交点は半円という有限の範囲を動き、かつx軸との交点はx軸全域を移動する。それは分かるね？

　すると、有限の半円周（円周長π）と無限長の直線の1対1対応が取れたことになる。しかも滑らかだ。半円と直線なのだからね。

　これも同一視なんだがね。数式で無限大が出て扱えないとき、それを有限で扱うよう変数変換することがあるんだが、優しい易しい説明をするなら上記のようなことをやっているわけなんだよ。無限長を有限長に収めてしまっても何も構わない。異なる有限長同士でも、もちろん構わない。

　直線や円周が物差しのようなものだとして、それらに刻まれた目盛の刻み方が違うだけなんだよ。それなら、無限長を含めた異なる長さが1対1に対応しても構わない。

　あなたのやっていることを見ていると、「ああ、この人は無限を扱ったことがないんだな」ということがよく分かる。

　だから言われてしまっているよね、勉強しなさいと。そのアドバイスは正しい。数学で納得したかったら数学を勉強するしかない。納得なんてものは、他から与えることはできないんだからね。

お礼

確かに、貴方の対応は、貴方自身が認められる様に、間接的な対応ですが、　
御回答なさった事への御礼のついでに、ちょっと補足させてください。　　　

「有限の半円周（円周長π）と無限長の直線の1対1対応が取れたことになる。しかも滑らかだ。半円と直線なのだからね。」
とおっしゃいましたが、それはちょっと不正確ではないですか？　　

何故ならば、貴方が与えられた対応（写像）は、直線 y=1 に対しては特異になると思われるからです。
言い換えれば、与半円上の端の点 (1,1) は、x-軸上の点に完全には対応しない特異点と存じます。
同じ理由に因って、与半円上の端の点 (-1,1) も特異点です。 　　

良く似た例としては、３次元内で原点が中心の半径１の球を考えて、定点 (0,0,1) を通り、xy-平面を貫く直線を考えれば、
この直線と xy-平面との任意の交点は、直線と球面との交点に一対一に対応します。　
（例えば、x^2+y^2=1 の円より外側の xy-平面上の点は北半球の点に対応し、　
x^2+y^2=1 の円より内側の xy-平面上の点は南半球の点に対応します。）　　
ですから、xy-平面と半球面の全ての点とは一対一に対応する様に見えます。　
しかも、貴方の論理に従いますと、球面と平面なのだから写像は滑らかに見えます。　

ところが、問題は、この球面上の北極点 (0,0,1) には、xy-平面上の対応点が無い事になり対応の特異点なのです。
従って、球面の全ての点と xy-平面とは一対一に完全には対応致しません。これは良く知られた例だと存知ますが。　　　　

３次元の例では紛らわしいとお考えならば、xy-平面上で、原点を中心とした半径１の円を考えて、　
定点 (0,1) から直線を引いて、この直線と x-軸並びに円との二つの交点同士の一対一の対応を考えられても結構です。　
やはり、点 (0,1) 自身は特異点になると存知ますが。　

本来の質問から逸れた話題になりましたが、やはり特異点の問題は重要と存じますので、御礼のついでに補足まで。

補足

御礼のついでの補足は規則違反になるかも知れないとの事で、lazdog1さんの回答に補足。　
（御礼欄の文字数制限が大きい事からして、ある程度の補足も許されると思いますが。
それに、以下の様に補足すると、回答者自身が補足したと誤解されるので、避けた訳です。）　

lazdog1さんが与えられた半円上の端の２点が特異点になる事実には、
何ら変わりは無いと存知ますが。　　

例えば、私が引用した球面の例は勿論御存知でしょう？　　
lazdog1さんは、この球面の北極点を、特異点ではなくて、何と呼ばれるのですか？　

無限に広い xy-平面上の点と有限な面積の球面上の点とを、　　
一対一に対応させる滑らかな写像には、問題が有る事を示してる例だと思いますよ。

議論を簡単にするために、有限の（開区間でなく）閉区間の線分と無限（半）直線とを、　
一対一に対応させる「滑らかな写像」の例が有ったら教えてください。　　

結論から申しますと、両端も含めて閉区間の線分上の点と無限（半）直線上の点とを、　
一対一に対応させる滑らかな写像は、決して存在しないと思いますよ。　

「端点だけは例外として、その点からの適当な写像を作れば良いじゃないか」と、　
仰るかも知れませんが、下手にやると、その端点の近傍
（勿論一つの方向しか考えられませんが）では、epsilon-delta が上手く行かず、
連続性すら失われると思いますが。　　

lazdog1さんは、流石に、そういうのを「滑らかな写像」とは仰らないでしょう？

回答No.15

麻野 なぎ（@asano_nagi）

理解の方向としては、（既に何度か出てきていますが）、ある a(n) の性質と、その極限値の性質は、必ずしも同じではないということです。

つまり、単純に、
「１より長い線が、長さ１の線に収束する」というだけのことです。

このあたりは、ε-δ 論法の意味するところを、実感として理解できるまで勉強してくださいということになります。
極限の考え方に対して、ε-δの考え方は、一見して「非情に回りくどい」という印象を受けると思います。
この、「まわりくどさ」が、「無限に続く」だとか、「限りなく近づく」という、不明確になりやすいところの曖昧さを取り除くための、苦労の歴史のあとなのです。

さて、その上で、No.13 で挙げられた (1) ～ (4) にはいくつかの誤りがあります。
まず、

(1) で、「関数の極限として得られる」と書いていますが、極限としての関数が存在することは自明ではありません。
感数列の収束には、「各点収束」と「一様収束」という概念がありますが、今回の場合、1/(2^n)×2 で一様に押さえ込まれるので、実際には、一様収束します。

(2) で、「至る所0になるので、連続」という記述がありますが、これも、「至る所0」と「連続」には直接の関係はありません。
連続であるためには、「xのδ近傍で、fn(x) が εで押さえ込まれる（δ近傍の「すべての」点でfn(x)がεの範囲）」必要があるので、至る所0という条件では、連続をいうためには弱いです。
今回の場合は、(1) と同じく、1/(2^n)×2 で必ず押さえ込まれるので、連続関数になります。
※あと、(1)で考えたように、この間数列は、一様収束するので、その収束先の関数は、存在してかつ連続といえます。

(3)は、間違いです。
fn(x) は、正しく f(x) = 0 に収束するので、微分可能です。
また、任意の n に対して、 fn(x) の微分可能なのはわかると思います。
ここで、「n が無限大になってしまうから、値が決定できない」というのが、誤解です。
「収束先」というのは、n に無限大を代入したものではないのです。

(4)も間違いです。（その意味では、No.13 の回答も不適切な点があります）

・fn(x) で表される曲線の長さは、任意の n について、pi より大きい。
・fn(x) が収束する先の線の長さは、pi に等しい。
というだけです。

つまりは、「長さ pi の線に収束する、長さが pi より大きい線の列が存在する」というだけのことです。

で、a(n) がある値に収束するときに、a(n) の性質と、その極限値の性質は、必ずしも一致しないということです。
No.7 の回答にもありますが、たとえば、
　lim[n→∞]sign(1/n) = 1
　sign(lim[n→∞]1/n) = 0
※sign は、符号関数

同じように、「長さの極限値と、極限値の長さ」も異なることがあります。

最後に、面白い例をひとつ。
始めに戻って三角形で考えましょう。

区間 [0, 1] を底辺とする、高さ 1 の三角形を考えます。
これを、２分割するのですが、高さは、1/2 にします。
次に、４分割するのですが、高さは、1/3 にします。
つまり、n番目の三角形は、

・底辺 1/(2^(n-1))
・高さ 1/n
の三角形が、合計 2^(n-1) 個存在することになります。
その斜辺の長さの合計は、安直な計算で、少なくとも発散することはわかります。
しかも、区間 [0, 1] をあらわす直線との距離を、三角形の高さとすると、明らかに、これは、[0, 1]の線分に収束します。
これは、「長さが無限大に発散するが、長さ１の線分に収束する例」になっています。

数学でいう無限とか極限を正しく理解すると、こういう例も議論できるようになります。

回答No.14

noname#195146

>ま～、そう感情的になられる必要は無いんですよ。数学の歴史的発展も、結局は、一人一人が書物から勉強するだけでなく、こういう生きた議論も多いに役立ってる点は認められますよね。

　気に障ったのか。それは済まなかった。

>迅速な返答をなさった事に対しては、御礼を差し上げますが、その一方で、肝心な点が抜けてる様です。　
>重要な点なので、ここで説明致しましょう。　

　いや抜けてるのはあなたなんだよ。その疑似線分、微分できたの？　実無限と可算無限でのアプローチでどう違うか理解できたの？

　数学に能書きは不要なんだよ。

回答No.13

麻野 なぎ（@asano_nagi）

実は、一番大きな勘違いは

> つまり、2, 2, 2, ... と無限に続く同じ値 2 の数列の極限が急に 1 になるので不審に感ずるのです。　

これです。

まず、「数列の極限が急に１になる」という表現は、表現としてあり得ません。

つまり、2, 2, , ... と続く数列の極限は 2 なのです。

※「数列がxに収束する」とう定義を思い出してください。
任意の正数εに対して、あるδが存在して、n > δであるような a(n) が、x のε近傍にあるということです。

つまり、2, 2, 2, ... と続く数列の極限が1であることはありえません。
（ε = 0.5 としたとき、a(n) が 1-0.5 に収まるよな n > δ なるδは存在しない）

正三角形のぎざぎざな線が、直線に収束するという例を考えましょう。
この場合、「収束する」ということを言うために、距離を定義する必要があります。
この場合、三角形の高さという定義をすれば、自然でしょう。

三角形の分割を無限に増やしていった場合に、ぎざぎざの線は直線に収束するというのは、［三角形の高さはゼロに収束する」という意味しか持ちません。

あくまでも、「長さ２の線と長さ１の線の距離がゼロに収束する」というだけのことです。
ふたつの線はどんなに分割しても「決して一致しません」。

ここでは、「ふたつの線の距離」を、「三角形の高さ」と定義しましたが、「線の長さの差」とすれば、そもそも、「ぎざぎざの線は直線に収束すらしない」ということになります。

「収束する」と「一致する」と「同一視できる」は別々の概念です。

ご質問の内容は、「正三角形」でしたが、もちろん、正三角形でなくても、任意の二等辺三角形で同じ議論ができます。
容易に想像できるように、区間[0, 1]を底辺とする、高さ100の二等辺三角形の斜辺の合計は、200ちょっとです。
同じような操作で、長さ200ちょっとのぎざぎざの線を長さ１の線に収束させることもできます。
でも、このぎざぎざの線は、長さ200ちょっとでありつづけるのです。

これは、「長さ」の持つ性質のようなもので、

お礼

asano_nagiさんへの御礼に加えて、補足させて下さい。　

＞つまり、2, 2, , ... と続く数列の極限は 2 なのです。　

それでは、「極限の曲線」の長さも２と結論して良いのですね。それが正に、私が言いたかった結論です。

今迄の議論をまとめますと、（lazydog1さんへの返答で言及した正弦関数も使いますと）
結局、 次の条件を満たす「連続関数」y = f(x) の存在が証明出来たと言って良いですね。　

（１）関数 f(x) は、次の関数列 f_n (x) の n → ∞ の極限として得られる：　
　　　f_n (x) = (1/2^n) sin (2^n x) (n = 1, 2, 3, … ) , 　
　　　f(x) = lim_{n → ∞} f_n (x) = lim_{n → ∞} (1/2^n) sin (2^n x) . 　
（２）f(x) は x-軸上の区間 [0, pi] で、x の値に無関係に至る所でゼロの値を持つ。
　　　（0 \le | f_n(x) | \le (1/2^n) なので、高校数学のレベルで証明可能）　
　　　従って、変数 x の連続関数でもある。
（３）曲線 y = f(x) は、開区間 (0, pi) の至る所で微分不可能。　
　　　何故なら、微分 f_n’(x) = cos(2^n x) は x が 0 でも pi でもなければ、　
　　　n → ∞ の極限で無限に振動するので、値が確定しない。 　
（４）曲線 y = f_n (x) の区間 [0, pi] での長さ L_n は、n に無関係に L_1 に一致し:　　
　　　L_1 = L_2 = L_3 = … = L_n = … 　
　　　L_1 = \int_0^\pi [ 1 + cos^2 (2x) ]^{1/2} d x 　
　　　従って、 n → ∞ の極限も L_1 に一致し： L_∞ = lim_{n → ∞} L_n = L_1 = L_2 = L_3 = …
　　　しかもその値は、pi よりも大きい：　L_∞ > pi（その理由は、asano_nagiさんが言われた通り。）

では、この様な「連続関数 」の曲線 y = f(x) は、一体何者なのでしょうか。　
至る所でゼロの値を持っているのに、至る所で微分不可能で、しかも、　
区間 [0, pi] でその曲線の長さは、pi よりも長いのです。 　

もし、上の（１）から（４）の内のどれかが間違っていたら、御訂正下さい。　

微分した曲線 y = f_n' (x) の極限は、x の区間 [0, pi] と y の区間 [-1,1] の長方形を隈無く埋める、
所謂「Peano 曲線」の一種かとも思いますが、後者は連続でなければならないので、やはり違うかとも。

回答No.12

noname#195146

>但し、私の元々の質問の後半には、半円周によるスムーズな疑似線分の例も与えて置きましたので、微分可能性云々は、今の質問の主旨からは外れていると思います。

　見逃してあげたことが理解できないようだね。それが何の反論になる？　例えば円周上の接線はどうなのかね？　少しでも離れた位置の接線の傾きは？　それを一点にしてしまえば？

　滑らかな曲線の一部を点に集約させたって同じことなんだよ。正三角形以上に無限を呼び込んだだけだ。あなたが扱えることではないだろうね。

　波線の極限が見た目の図形上は線分に収束しても、今まで回答したことと何も変わってはおらん。数学をしたければ数学を学ぶことだ。数学で悩むべきことがあると思うなら、数学を学んでそこにたどり着いてみるといい。

　クイズに納得できないからといって、不勉強な者に答はないよ。

お礼

ま～、そう感情的になられる必要は無いんですよ。数学の歴史的発展も、結局は、一人一人が書物から勉強するだけでなく、
こういう生きた議論も多いに役立ってる点は認められますよね。　

迅速な返答をなさった事に対しては、御礼を差し上げますが、その一方で、肝心な点が抜けてる様です。　
重要な点なので、ここで説明致しましょう。　

問題は、lim_{n \rightarrow \infty} (1/2)^n sin(2^n x) = 0 に有るのですが。　
こんなのは、 x が実数である限り、高校数学レベルでもゼロと言うしか無いでしょう。　

しかし、ゼロなのなら、関数 y_n = (1/2)^n sin(2^n x) は x の値に無関係にゼロに収束してませんか？　そうならば、
「波線の極限は単に見た目だけでなく、厳密に y=0 の線分に収束する」と断言するしか無いでしょう、どうですか？　

そんな訳で、貴方がおっしゃった、　
「波線の極限が見た目の図形上は線分に収束しても、今まで回答したことと何も変わってはおらん。」は、
かなり乱暴な言い回しですね。　　

私の方から、可能性を申し上げますと、　
（１）関数 y_n のゼロへの収束は、x の値に無関係でない。　
（２）微分や積分と n \rightarrow \infty との交換が出来ない。　　
等が考えられます。 　

（１）については、0 \le | y_n | \le (1/2)^n、つまりゼロに収束する優数列 (1/2)^n が存在するので
x の値に無関係に収束していると思われますが、間違ってたら御訂正願います。　

もし、収束が x の値に無関係なのならば、（２）の微分や積分と n \rightarrow \infty との交換が出来ない可能性は、
不自然に感じます。これは級数に於ける「一様収束」の類推からですが、間違ってたら御訂正願います。　

こういう事情から、フラクタルや次元数との関連性も強く、かなり非自明な問題だと思います。　
例えば、１次元の曲線で２次元平面を覆い尽くしてしまう様なパラドックスとかが考えられます。

回答No.11

麻野 なぎ（@asano_nagi）

じゃ、私もちょっと気になったので。

>何故なら、どんなに１に近い１未満の実数を取ったとしても、0.999...はその実数よりも１に近いのですから。

というのは、現在の数学の知見からすると全く正しい理解だと思います。
実はこの理解の中に、「１より大きくなくて、任意の１未満の数よりも大きい数は、１しかない」という実数解析の正しい理解が見られます。

数学的な言葉を使えば、まず、0.9999... という表現が何を示すのか定義する必要があります。
数学的に「９が無限個並んだもの」というのは定義できないからです。

ですので、数学的には、これは
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999 とつづく数列（式で表せば a(n) = 1 - 10^(-n)）の極限値であると理解します。
ここでは、

1) a(n) ＜ 1 （この数列の場合、決して等しくもならないことに注意してください）
2) a(n) は、狭義単調に増加する。
3) どのような正数 ε を持ってきても、ある、δ を定めることができて、n > δ なら、
a(n) > 1 - εとできる

※3) は、まさに、どんな１未満の数を持ってきても、n がある程度以上なら、a(n) はそれより大きくできるということをいっています。

この条件をもとに、a(n) の極限値は 1である（0.9999... は 1である）といえることになります。

この場合も、数列の項 a(n) に１と等しいものはありませんが、極限値は１であるということになります。

これは、数学基礎論を持ち出さなくても、実数解析の範囲で説明できる事柄です。
さらにいえば、

> １．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『1』999…（1の次は9がまた無限個続く）
> ２．0.999…（既に無限個の9が続いている）…『2』999…（1の次は9がまた無限個続く）

というのは、現在の数学では認められません。
数学では「無限個の９が続いている」のような表現はあり得ないわけです。

ですから、0.9999.... という「表現」に対しても、「無限個の９が並ぶ」という表現を、そもそも用いないのです。