関数の極限の問題です（大学１年レベル）…続き

質問

q=85101で一旦は納得してしまったものの、よく見たらまだ理解できていない部分があることに気付きましたのであらためて質問させていただきます。

lim h/log(1+h)=1
h→0

が成り立つ事を微分を使わずに示してください。

もしくは別の方法で

lim(e^x-1)/x=1
x→0

の証明の仕方を教えてください。

回答No.5

shushou · ベストアンサー

出発点は、有名な

(1)　　(1+1/n)^n→e　(n→∞)

ですが、(1+1/n)^n が収束することはよいでしょうか。
単調増加でかつ上からおさえられることを示せばよいですね。
示し方はいろんな本にのっているので省略します。
(1+1/n)^n は2.718...という値に収束しその値を
eと定義するのでした。

さて今度は(1)を

(2)　　(1+1/x)^x→e　　(x→∞)

というように自然数から実数に拡張します。
これは次のようにして示します。
n≦x<n+1　(ｎは自然数)　とすれば

(1+1/(n+1))^n < (1+1/x)^x < (1+1/n)^(n+1)

で、これを変形して

(1+1/(n+1))^(n+1)/(1+1/(n+1)) < (1+1/x)^x < ((1+1/n)^n)(1+1/n)

x→∞のときn→∞で(1)より左辺と右辺はともにeに行くので
はさみうちの原理より(2)が得られます。

では、おまちかねの　lim(e^x-1)/x を求めましょう。
e^x-1=t　とおくとx→0のときｔ→0で x=log(1+t) ですから

(e^x-1)/x = t/log(1+t) = 1/log((1+t)^(1/t))

→1/log e　(t→0)　(∵　logは連続関数であることと(2)より)

　=1

となって、めでたく lim(e^x-1)/x=1 がいえました。
読みにくくてごめんなさい。

お礼

良く分かりました。
eの定義は自然数では分かっていましたが、それを実数でも当たり前として使っていたので、
自然数から実数への拡張と言うのは新鮮でした。
考えてみればそうですよね。
log((1+t)^(1/t)) →　log e　(t→0)
を言うためには実数での定義が必要ですよね。

ありがとうございました。
またよろしくお願いします。

回答No.4

oodaiko

すみません。とんでもない勘違いで間違った計算を書いてしまいました。
下の回答はなかったことにして下さい。

お礼

はい。(・_・）←目が点のつもり。
ちょうどまだ検算してなかったので、お言葉に甘えてなかった事にさせていただきます。（笑）

回答No.3

oodaiko

それでは高校で学習したe^xの定義に戻って考えてみましょう。

高校で学習したe^xの定義は
lim{n→∞} ( 1 + (x /n) )^n
でしたね。この定義を利用して計算します。
必要な予備知識は２項展開の公式だけです。
なお Σ_{k=i}^{n} f(k) は数列f(k) のk=iからnまでの総和を表すとします。

lim{x→0} ( e^x - 1 )/ x
＝ lim{x→0} lim{n→∞} ( ( 1 + (x /n) )^n - 1 ) / x
　　　　　　(以下 lim{x→0} lim{n→∞} は省略）
＝ (（ Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k ） - 1 ) / x
＝ （Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/n)^k ）/ x
＝ Σ_{k=1}^{n} n!/( k!(n-k)! ) x^{k-1}/n^k
＝ Σ_{k=1}^{n} (n-1)!/( (k-1)!(n-k)! ) (x/n)^{k-1}
　　　　　　ここでk-1,n-1を改めてk,nと書き直すと
＝ Σ_{k=0}^{n} n!/( k!(n-k)! ) (x/(n+1))^k
＝ ( 1 + (x /(n+1)) )^n
＝ ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) )
　　　　　　ここで再び lim{x→0} lim{n→∞}を考えて
＝ lim{x→0} lim{n→∞} ( 1 + (x /(n+1)) )^{n+1} / ( 1 + (x /(n+1)) )
＝ lim{x→0} e^x
＝１

以上

回答No.2

noname#585

いま風呂上りの一杯中です。
さて、いきましょうか。
eの定義はＯ．Ｋでしょうか？
つまり、
lim(1+1/x)^x=e
x→∞　　　　　　∞は＋・－です。（書き方が分からん）

ということは1/x=hとおくことで
lim(1+h)^(1/h)=e　になります。
ｈ→0
これを使います。
いくよ。

limlog(1+h)/h=limlog(1+h)^(1/h)=loge=1

ということは
limh/log(1+h)=1　になるよね。

最初からしめせば良かったですね。ごめんなさい。

それでは、もう一本飲もう。

お礼

> いま風呂上りの一杯中です。
いいっすねー、俺も行こうかな。

さて本題ですが、ＯＫです。
しかしこれだけの段階を経ないとたどり着けない問題にいともあっさり答えてしまうER34Yutakaさんって？と思いきや、「どんな人：専門家」、ナルほどー。

きっと今後もお世話になりますので、よろしくお願いします。

回答No.1

kajuram

log(1+h)をh=0の近傍でマクローリン展開してみましょう。
もう１つの方も同様に、e^xをx=0の近傍でマクローリン展開すると
きちんと解が導けます。

f(x)のマクローリン展開

　　f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f''(0)x^2+(1/3!)f'''(0)x^3・・・・・

です。
f'(0)はf(x)の１回微分にx=0を代入したもの、f''(0)は２回微分に
x=0を代入したもの、以下微分回数が増えたものです。
当てはめてみましょう。

補足

q=85101でもマクローリン展開を使った解法は教えていただきました。
しかしここでは「微分を使わずに」解きたいのです。（詳細はq=85101をご覧下さいませ。）

よろしくお願いします。