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円の問題です。

stomachmanの回答

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  • stomachman
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回答No.4

 一般論ですが、この種の問題は理論的に甘い上限、下限を示すことはできても、「これが最大個数」というのを証明することは極めて困難です。  実際描いてみたら78個入ったというのだから、「少なくとも78入る」(下限)とは言えても、「79は絶対に無理」を証明するのは別問題。下限を改良するためには、コンピュータを使っていろいろやってみる、という方法もあります。  たとえば、ですけど、 各円の中心点の座標を(x[i],y[i])i=1,2,....,N (Nはこの場合たとえば79)として、まず、半径10の大きい円の中にこれらをランダムにばらまきます。 各中心点iについて、他の中心点jとの距離の1/2、あるいは大きい円の円周からの距離のうち、最短のものをrとします。  rが1よりも小さい場合には、rが大きくなる方向へこの中心点iを少し動かす。 これを全てのi=1,2,...,Nについてランダムな順番でやる。 この操作を延々と繰り返し、また「少し動かす」の「少し」の程度をだんだん小さくしていきます。  そうすると、ひょっとすると、どの中心も動かす必要がなくなる可能性がある。そうしたらN個が収まる配置が見つかったという訳です。もし見つかったら、(これが「CADで描けた」ってレベルです。)今度はきちんと、その配置でN個が入ることを幾何学的に証明して、これで下限が改良されたことになる。旨く行かなかったらまたランダム配置を変えてやってみる。  そういう類の問題ですんで、綺麗に解けるという訳には多分いきませんぜこれ。  で、一番手っ取り早い方法はと言うと、実はパチンコ玉を79個持ってきて、これを玉の直径の10倍の内径を持つ円形容器に放り込んでかき混ぜてみる。がしゃがしゃやっている内に、上記の計算と同様のことが起こるわけです。

malditof
質問者

お礼

お返事ありがとうございます。 一見簡単な問題に思えるのですが、奥が深いんですね。実際、パチンコ玉でやってみたいと思いました。論より証拠です。

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