関数の極限の問題です（大学１年レベル）

質問

大学１年レベルの問題です。
　　　　　　　e^x - e^(-x)
　　　　lim ----------------
　　　　x→0　　　x
Excelでグラフを書いたらどうも2になりそうだと推測できたのですが、導き方を教えてください。

回答No.3

noname#585 · ベストアンサー

時間ができたので微分を使わないでいきます。

lim(e^x-1)/x=1　をフル活用してみます。
x→0
e^x-e^(-x)/x=(e^x-1-e^(-x)+1))/x
=(e^x-1)/x+(e^(-x)-1)/(-x)
と変形すれば１＋１＝２となるよ。

lim(e^x-1)/x=1　の証明は大丈夫？
x→0
e^x-1=h　とおけば　x=log(1+h) でx→0ならh→0
だから
lim(e^x-1)/x=limh/log(1+h)=1
x→0　　　　　h→0

でいかがでしょうか。また何かあれば。

お礼

素晴らしいです。

> lim(e^x-1)/x=1　の証明は大丈夫？

大丈夫じゃなかったです。何から何までお手数をおかけしました。
またよろしくお願いします。

補足

早く御礼を言わなきゃと検算もせずに返事をしてしまいました。やっぱりまだ分かりません。
なぜ
lim h/log(1+h)=1
h→0
なのでしょうか？自明じゃないですよね？

回答No.2

noname#585

こんにちは。
お勉強御苦労様です。
shushouさんのとおりです。

l`Hospitalの法則の説明を
（解っているととても楽チンですよ）
f(x),g(x)は x=a の近傍で連続で、x=a 以外では微分可能
であるとする。さらに、f(a)=g(a)=0　で、x=a 以外では
g`(x)=0　とする。このとき、
lim f(x)/g(x)=k　ならば
x→a
lim f`(x)/g`(x)=k　
x→a

つまり、分母・分子が極限値が０ならば
微分して極限をとるといいのです。

この場合
分子を微分して　ｅ＾ｘ＋ｅ＾（－ｘ）
分母を微分して　１
よって、全体の極限はその通り　２　になります。

お礼

ありがとうございます。

shushouさんにも申し上げたように、微分を使わない方法があればおしえてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

shushou

ロピタルの定理ですぐ２とわかります。
あるいは、e^xとe^(-x)をそれぞれマクローリン展開しますと

分母＝(1+x/1!+x^2/2!+...)-(1-x/1!+x^2/2!-...)

　　＝2x/1!+2x^3/3!+...

となるのでこれを代入しても答えの２が出てきます。

お礼

ありがとうございます。

ただ私の勉強している本（『微分積分学』サイエンス社発行、笠原晧司著）ではド・ロピタルの定理やマクローリン展開が出てくる前にこの問題が出てきます。
出来れば微分の出てこない範囲での回答をお願いしたいのですが。

でもありがとうございました。