ｙ＝ｆ（ｘ）でｆ（ｘ）＝０が虚数解をもつとき

質問

おかしな質問だと思いますが、高校レベルの解答を期待します。質問は、
ｆ（ｘ）が２次式のとき、ｆ（ｘ）＝０の実数解は、ｙ＝ｆ（ｘ）とｘ軸との交点を表します。では、ｆ（ｘ）＝０が虚数解をもつときに、その虚数解は、何を表しているのでしょうか？　というか、何かを表しているのでしょうか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

masao_kunさんは、stomachmanの回答をアニメーション化してくださいました。これも楽しいですね。
ただし、masao_kunさんのおっしゃるx,zは実数であり、stomachmanの回答ではu,vと表されていることにご注意下さい。masao_kunさんの仰るyは実数であるかのように思われますが、これも複素数F+iGとすべきです。だから３次元のグラフ２つ（F用とG用）を使う必要があるんですね。
　複素数xの実係数２次式で表されるいわゆる「放物線」は、実は平行移動と拡大・縮小を気にしないことにすればたった一つしかありません。（たとえば楕円だと、長軸と短軸の長さの比の異なる様々な楕円があるけど、放物線は１種類しかない。）
　u,v平面との幾何学的関係を見る場合、拡大・縮小はこのさいどうでも良いし、原点がどこだろうが本質的ではない。そう考えますと、実係数２次式の場合、
f(x) = x^2+C
すなわち
F(u,v)+iG(u,v)=(u+iv)^2+C
だけ考えれば十分であり、従っていじってみる価値があるのはCだけなんです。つまりこの２つの曲面F(u,v)とG(u,v)をF=G=-cという平面で切ってみる、その切る「高さ」を動かしてみているだけということです。まさにアニメーションにうってつけですね。

回答No.3

noname#598

stomachmanさんのおっしゃったことを読んでて、
こんなことを考えました。

x^2 はxの２乗です。

b^2-4ac＝Ｄとすると、
２次方程式の解は

x=(-b±√Ｄ)/2a

であることはご存知の通りだと思います。

Ｄ≧０のときはｘ軸との交点
Ｄ＜０のときは、原点Ｏを通るｘｙ平面に垂直な直線を設け、それをｚ軸とする。
（ｘｚ平面はいわゆる複素数平面です）

視点を変えて、通常眺める平面をｘｚ平面にして、
いわゆる縦軸をｙ軸にとりなおして、この
関数y=x^2-a と、その解x=±√a
の関係を想像していると、面白くなりそうですよ。

a,bを固定してc（またはＤ）を変化させるとどんなことになるんだろうね。
例えばx^2=aの解を、aを正の数から負の数に変化させると、
x軸に、原点Ｏが中点となるような２点が現れ、
aが０に近づくにつれてそれは長さが短くなる。
０になった瞬間それは１点となり、
aが０より小さくなると今度はｚ軸上にその２点が現れる。
元のグラフと３次元的にみると、面白いかもね。

stomachmanさん、意図していることと全然違ったらごめんなさい。

そして、他人のふんどしで相撲を取ってしまった私をお許しください・・・

回答No.2

stomachman

式の上だけでは納得せず、幾何学的意味をビジュアル化したい、と仰るわけですね。大変立派な態度だと思います。

●f(x)＝0の解xが純虚数の場合の話なら、話は簡単。解は
x=iv　(vは実数）
と書ける訳です。そこで
g(v) = f(iv)
と定義して、
<v,g(v)>のグラフを描いてみる。
具体的には
f(x) = Ax^2 +C (A,Cは実数で、A≠0)
である場合に
g(v) = f(iv) = -Av^2 + C
ですから、
v = ±√(C/A)
これは、v,g(v)のグラフにおいて、v軸と曲線g(v)の交点ですよね。vというのは虚数軸に他なりません。

●もっと一般にf(x)=0が複素解xを持つ場合どうなるか。こっちの方が面白いので、是非頑張って読んでくださいな。
まず、u,vをいずれも実数として、複素数xを
x=u+iv
と分解して考える。そして、２変数の実数値関数F(u,v), G(u,v)を考えて、
f(x) = F(u,v)+iG(u,v)
とおく。FもGも実数です。すると、
「xが方程式f(x)=0の解であるとは、x=u+ivと分解したとき、F(u,v) = 0 かつ　G(u,v)=0　が満たされることに他ならない。」
これはどういうことか。
<u,v,F(u,v)>の三次元のグラフを描いてみると、F(u,v)が0になっている<u,v>が沢山あります。すなわちu軸v軸の張る平面にグラフ（曲面）が交差している点が沢山あり、そのような<u,v>はこの平面上で曲線をなしている。さらに<u,v,G(u,v)>の三次元のグラフを描いてみると、解xに対応するx=u+ivのところでG(u,v)は0になっている。すなわちu軸v軸の張る平面にグラフが交差している。そのような<u,v>は平面上で曲線をなしている。
Fについても、Gについても0になるような平面上の点<u,v>が、解x=u+ivを表す訳です。

具体的に実係数２次方程式の場合を考えてみます。
f(x) = Ax^2+Bx+C（A,B,Cは実数でA≠0。xは複素数）
としましょう。これに、xを実数u,vを使って表したもの
x=u+iv
を代入して、実部と虚部に分けてみると
f(x) =F(u,v)+iG(u,v)
F(u,v)= A(u^2-v^2)+Bu+C
G(u,v)= 2A(uv)+Bv
である。もしMathematicaなどの三次元グラフが描けるソフトをお持ちなら、是非実際に描いてみることをお勧めします。（勿論、電卓と手書き、というのでも可能ですよ。）

●そこで今度はF(u,v)=0の曲線とG(u,v)=0の曲線の関係を見やすくしてみましょう。
u,v平面上にF(u,v)=0を満たす点<u,v>の集合を「青」でプロットします。曲線が現れる筈です。同じ平面上にG(u,v)=0を満たす点の集合を「赤」でプロットします。これも曲線になる。青と赤の曲線が交差したところ<u,v>、それが解x=u+ivですね。（これならExcelでも簡単にグラフ化できるでしょう。）

　さて、F(u,v)=0となる<u,v>をu,v平面上に「青」でプロットすると言うのは、
v^2=(u^2+(B/A)u+C/A) ... (1)
という曲線を描くということです。vは実数なので、あるuを与えたとき右辺が負になってしまう場合には、そのuに対応するvは無い、という事に注意してください。
　同様に、G(u,v)=0となる<u,v>をu,v平面上に「赤」でプロットすると言うのは、
(2Au+B)v=0 ...(2)
を満たす<u,v>の集合を描く訳です。この場合はつまり、v=0という直線（これはu軸そのものですね）と、u=-B/(2A)という直線（これはv軸と平行です）を描くということを意味しています。

●さて、「青」の曲線と、「赤」の曲線（実は２本の直線）ができた。これらの交点はどこにあるか。
○まず、「赤」の２本の直線のうちの一方、v=0だけを考えてみましょう。「青」がこれと交差するような点<u,v>においては、v=0ですから (1)式に代入すると
v^2=0=(u^2+(B/A)u+C/A)
である。言い換えれば
Au^2+Bu+C=0
を満たすようなuがあれば、<u,v>が交点であることになる。
なんだ元のf(x)と同じじゃないか、と思ったら大間違いで、f(x)のxは複素数ですが、この式ではuは実数です。だから
(1) 判別式D=B^2-4ACが負の場合には解はない。つまり「青」の曲線のうち、「赤」の線v=0と交差するような箇所は存在しない。
(2) 判別式Dが0の場合には、u=-B/(2A)が解です。だから<u,v>=<-B/(2A),0>に於いて「青」の曲線と「赤」の線v=0が交差しています。だからx=-B/(2A)が解ですね。実数値の重解です。さらに、この点では二つの「赤」の直線もまた交わっている。
(3) 判別式Dが正の場合には、<(-B+√D)/(2A),0> と <(-B-√D)/(2A),0>の２点に於いて「青」の曲線と「赤」の線v=0が交差していて、これらが解です。実数値の解ですね。

○今度は、「赤」の２本の直線のうちのもう一方、u=-B/(2A)だけを考えてみましょう。これを(1)式に代入すると、
v^2=([-B/(2A)]^2+(B/A)[-B/(2A)]+C/A)
右辺を整理しますと、
v^2=(-B^2+4AC)/((2A)^2)
となります。これは判別式D=B^2-4ACを用いて
v^2=-D/((2A)^2)
と書けますね。
(1) 判別式Dが正の場合。右辺は負になります。そして、右辺が負のときにはvは存在しないんでした。だからこの場合には、「赤」の直線u=-B/(2A)と「青」の曲線(1)は交わっていません。
(2) 判別式Dが0の場合、右辺は0であり、v=0が解です。従って、<u,v>=<-B/(2A),0>に於いて「青」の曲線と「赤」の線u=-B/(2A)が交差しています。だからx=-B/(2A)が解ですね。実数値の重解です。前に述べたように、この点では二つの「赤」の直線もまた交わっている。
(3) 判別式Dが負の場合、右辺は正であり、v=±√(-D)/(2A)が解です。すなわち、<-B/(2A),√(-D)/(2A)>と、<-B/(2A),-√(-D)/(2A)>の２点に於いて「青」の曲線と「赤」の線u=-B/(2A)が交差していて、これらが解です。x=[-B±i√(-D)]/(2A)という二つの複素数解を表している。

●分かり切ったようなことでも、可視化してみるとなかなか楽しいものです。さらに、この「青」「赤」方式が使えるのは、何も２次式に限る訳じゃありません。例えば３次式では一般に解が３個出てきます。それが何処に来るのかも、同じようにして検討することが出来ます。

お礼

こんなに丁寧にお答えくださってありがとうございます。プリントアウトして、ゆっくゆっくりていねいに読解してみたいと思います。

回答No.1

kent-milds

えぇっと、高校レベルと言う事で・・・
虚数の解が出ると言う事は、実数空間であるこの世では交点を持たない、
と言う事です。
っと、こんな回答をしていると、数学者にツッコミをいれられてしまいますね (^-^;