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円を直線で分割すると・・・？
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１本の時＝２分割 ２本の時＝４分割 ３本の時＝７分割 ４本の時＝１１分割 ５本の時＝１６分割 ６本の時＝２２分割 ７本の時＝２９分割 ８本の時＝３７分割 ９本の時＝４６分割 直線の数をＮとします Ｎ本の線で分割できる最大の数をＦ(Ｎ)とすると Ｆ(０)＝１ Ｆ(Ｎ)＝Ｆ(Ｎ－１)＋Ｎ だと思いますよ 線を追加する際に 他の線と必ず交差して 尚且つ既存の交点を通過しない様にすれば 最大の数になる様な気がします ですからこの様に線を追加すれば 分割した数は「既存の線の数＋１」増える 因みに １００本の時＝５０５１分割 １０００本の時＝５００５０１分割 １００００本の時＝５０００５００１分割 ---- 以上であっていると思いますが もし間違いがあればご指摘下さい
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- sumou111
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漸化式の問題ですね。 まずN本の直線で、円の平面がA(N)個の領域に分けられると考えます。 直線がN本の状態の時、N+1本目の直線を追加すると、この直線は既に存在するN本の直線とN個の点で交わります。よって A(N+1)=A(N)+N・・・(1) という式が成り立ちます。またN+1本目の直線は、このN個の頂点でN+1個の部分に分けられて、その各々に対して新しい領域が1つずつできるので、 A(N+1)=A(N)+N+1・・・(2) が成り立ちます。 まずA(N)を求めます。(2)より A(N+1)-A(N)=N+1 になります。 数列{A(N)}の階差数列の一般項はN+1でありますから、Nが２以上の時、 A(N)=A(1)+1/2N(N-1)+N-1 =1/2(N^2+N+2) が成り立ちます。これが答えで、Nに任意の直線の数を代入すれば領域の数A(N)が求まります。（Σがうまく表現できなかったので、省略しました。） ですから、直線が３本の時は、A(3) = 1/2(3^2+3+2) = 7分割。直線が６本の時は、A(6) = 1/2(6^2+6+2) = 22分割できます。 以上です。
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