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高校数学 答えがなくて困ってます！ 後半
1≦t≦e とする。 定積分 S(t)=∫[1~e]|x-t|(logx)/x dx を最小にするtの値を求めよ。 ただし、logは自然対数を表し、eは自然対数の底を表す。 説明はざっとでいいので、回答いただけると助かります。
- tamy_11_29
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- info22_
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S(t)=∫[1→e]|x-t|(logx)/x dx (1≦t≦e) =∫[1→t] (t-x)log(x)/x dx+∫[t→e] (x-t)log(x)/x dx =t(log(t))^2 -2tlog(t)+(3/2)t-1 =tlog(t)(log(t)-2)+(3/2)t-1 (1≦t≦e) S'(t)=(log(t))^2 -(1/2) S'(t)=0の時のtは 1≦t≦e より 0≦log(t)≦1 log(t)=1/√2 ⇒ t=e^(1/√2) 1≦t<e^(1/√2)で S'(t)<0 e^(1/√2)<t≦eで S'(t)>0 t=e^(1/√2)で S'(t)=0, ∴極小値（最小値）S(e^(1/√2))=(2-√2)(e^(1/√2))-1 （答え）t=e^(1/√2)
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