反応工学：平均滞留時間と反応率

質問

環境工学で反応工学の授業をとったのですがとても難しくてギブアップ気味です。どなたか分りやすく教えてください。

問題はこうです。
「等しい反応容積Vに流通式完全混合槽反応器CSTR２つを用い、ａ）直列に接続した反応装置と、ｂ）並列に接続した反応装置について検討した。これらの反応装置でＡ→Ｂで表される一時反応（速度式：－ｒA＝kCA）を行う（※Aは小さい文字）。Aの濃度がCAoである反応流体を体積流量ｑでそれぞれの反応装置に供給した。但しｂ）の並列接続の場合、２つある反応器の流量はｑ／２で等しいものとする。」
問１：２つの反応装置の平均滞留時間ｔが等しいことを説明せよ。（ｔは反応器の平均滞留時間ではないことに注意）
問２：ａ）とｂ）の反応率（ＸＡ,ａとＸＢ,ｂ）を反応速度定数ｋとｔで表し、ｋｔ＝１の時の値を計算せよ。
問３：平均滞留時間ｔが等しいにも拘わらず、２つの装置で反応率が異なるのは何故か説明せよ。

以上の問題にどう回答すればいいのかわかりません。
問１については、反応器１つの平均滞留時間はｔ＝Ｖ／ｑ（並列の場合はＶ／ｑ／２）であることは分ります。それが並列と直列でどう変わるのかわかりません。
ここで躓き問２、３までたどりつけません。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

ひとまず直列／並列はおいて、ひとつの槽を考えましょう。
容積がｖ、流れ込む流量をｆとします（混乱を避けるため敢て
別の文字を使っています）。このときの平均滞留時間は
ｖ／ｆ
です。

次に直列／並列の場合ですが、ここで要注意なのは、
「装置」と「反応器」、「槽」は分けて考える必要がある
ということです。この問題で「装置」といっているのは
二つのＣＳＴＲを組み合わせた全体であり、「反応器」
、「槽」は個々のＣＳＴRのことです。

では次に個々の槽について考えましょう。
（１）直列の場合
一槽目の容積がｖ、一槽目に流れ込む流量がｆなので、
一槽目の滞留時間はｖ／ｆです。
二槽目も容積、流量ともに一槽目と同じなので、やはり
滞留時間はｖ／ｆです。
直列の装置では物の流れは
一槽目で滞留時間ｖ／ｆを過ごしたのち二槽目で同じく
滞留時間ｖ／ｆを過ごすので、合計の（装置全体としての）
滞留時間は２ｖ／ｆです。この問題でいえば２Ｖ／ｑです。

（２）並列の場合
原料は二等分されて個々の槽に入るので、原料の流量は
ｆ／２です。槽の容積はｖなので、槽の滞留時間は
ｖ／（ｆ／２）＝２ｖ／ｆ
です。並列の場合、原料の半分が一方の槽に流れ込み、
滞留時間２ｖ／ｆを過ごした後出てきます。残る半分は
もう一方の槽に入り、やはり滞留時間２ｖ／ｆを過ごして
出てきます。

原料の中のＡの一分子を考えてみると、直列ではそれぞれ
ｖ／ｆの滞留時間を過ごしながら二つの槽を通過（途中で
Ｂになるかもしれませんが）するのに対し、並列の場合は
通過するのはどちらか一つの槽だけ（滞留時間は２ｖ／ｆ）
です。

お礼

ありがとうございます。よーっくわかりました。

並列のとき、そもそも何故流量を2で割っているのかが疑問でした。
原料が等分されてそれぞれの反応器に入るからなのですね。
しかも直列と違い反応は１回しか起こらないから反応器が幾つあろうが関係ないということなのですね。

本当に丁寧に教えていただきありがとうございます。
問２、問３もしっかり考えてみます。

回答No.1

gohtraw

（１）
説明というか、滞留時間を計算すれば一目瞭然ではないかと。
直列の場合、２Vの体積にｑの流量で流れるので滞留時間は２Ｖ／ｑ、
並列の場合Ｖの体積にｑ／２の流量で流れるので同じく２Ｖ／ｑ
これだけではないでしょうか？

（２）
完全混合の撹拌槽なので、原料の濃度変化を追っていくと
反応器入口まではＣａ０で、反応器に入った瞬間にＣａにガクンと
落ち、そのままの濃度で反応器から出ていくことになります。

ここで例として直列の装置の一槽目の物質収支を考えると、
反応器入口は流量ｑ、濃度Ｃａ０、反応器出口は流量ｑ、
濃度Ｃａなので、単位時間当たりのＡの減少は
ｑ（Ｃａ０－Ｃａ）
であり、反応速度式から導かれる単位時間当たりのＡの減少は
ｋ・Ｃａ・Ｖ　　（Ｖは槽の容量）
です。この両者は等しいはずなので、
ｑ（Ｃａ０－Ｃａ）＝ｋ・Ｃａ・Ｖ
ｑ（Ｃａ０－Ｃａ）／Ｖ＝ｋ・Ｃａ　・・・（あ）
ここでは一槽目だけを考えているので、滞留時間として一槽目
だけの滞留時間を考える必要があります。Ｖの容積にｑで流れる
ので滞留時間はＶ／ｑですから、（１）で求めたｔ（＝２Ｖ／ｑ）を
用いて表すとｔ／２です。よって（あ）は
２（Ｃａ０－Ｃａ）／ｔ＝ｋ・Ｃａ
２（Ｃａ０－Ｃａ）＝ｋ・ｔ・Ｃａ
Ｃａ（ｋｔ＋２）＝２Ｃａ０
Ｃａ＝２Ｃａ０／（ｋｔ＋２）
これが一槽目の出口濃度です。

二槽目の出口濃度をＣａ’とすると、上記と同様に（流量はｑ、入口濃度は
Ｃａ、容積はＶ）
Ｃａ’＝２Ｃａ／（ｋｔ＋２）
なので、
Ｃａ’＝４Ｃａ０／（ｋｔ＋２）＾２
となります。
Ａの反応率は
（Ｃａ０－Ｃａ’）／Ｃａ０
で求められるので計算して下さい。

並列の場合も上記の一槽目と同じ計算をすれば（ただし滞留
時間はｔ＝２Ｖ／ｑを使う）出口濃度を求めることができます。

（３）
説明というか、上記の数式が全てだと思うのですが、敢て言葉にすると、
原料の濃度変化を追った場合、並列の装置では原料濃度が一気に
低いところまで落ちているのに対し、直列の場合は段階的に原料濃度
が下がっていることが判ると思います。これは上記の計算を済ませて
から図にしてみるといいでしょう。段階的に原料濃度を下げるということは
原料濃度が高い（あまり下がっていない）領域がどこかにあるということで、
その領域で反応速度式　－ｒａ＝ｋＣａに従って生産量（Ｂの生成量）を
稼いでいるということです。一気に原料濃度を下げてしまうと、この
「稼げる領域」がなくなってしまうんですね。このようなことを（２）で得た
結果（ｋｔ＝１の場合を使って）で定量化して説明すればいいのではないかと。

お礼

上記補足の並列の問いを間違えました。

誤：並列だとどうして流量（ｑ／２）の２倍とするのですか？

正：並列だとどうして１つの反応器の平均滞留時間「Ｖ／（ｑ／２）＝２Ｖ／ｑ」のままでいいのですか？並列の場合幾つあっても平均滞留時間を１個分のままとする理由は何ですか？

補足

さっそくの回答本当にありがとうございます。

ただ、問１に関しては良く分からないです。
なぜ直列だと体積Vの２倍にして流量はそのままとするのですか？
並列だとどうして流量（ｑ／２）の２倍とするのですか？

よろしくお願いします。