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ゼノンの逆理について。

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お礼率 95% (66/69)

有名なゼノンの逆理のひとつアキレスと亀の問題の解説のひとつに、「無限に足していくことはできるが最終的に和2を持つから追いつく」というものがありました。
つまり、「アキレスの1/2の速度を持つ亀を、アキレスが追い越すとき、その計算は1+1/2+1/4+・・・と無限に加算することとなるが、和2を持つので追いつく」ということです。
ここで数学が素人の私は、無限に続くのになんで和2を持つと証明できるの?と思ってしまいます。
ずーっと加算していっても、永遠に到達できない点が無限である所以ではないのでは?という(屁)理屈です。
1億桁計算しても、1京桁計算しても、1不可思議桁計算しても2ではないのなら、なぜ2と言えるのか?そもそも無限に計算することなんて無理なのでは?

どこを誤解してるのでしょう?

これが無限と言うものであるのであれば、他の対象を取り扱った無限、例えば熱力学第3法則(でしたっけ?)「有限回数の操作で絶対零度に到達することは不可能」というのは、無限回数の操作では到達できると言うことで、アキレスの問題でできるなら絶対零度だってと思ってしまいます。

私の誤解を一刀両断にしてくれる回答をお待ちしております。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.7
レベル9

ベストアンサー率 30% (25/81)

「限りなく透明に近いブルー」が「ブルー」か「無色」かというと、
B=ブルーのインクの量
W=水の量
としたときに、
「W→∞のときB/W→0(つまり無色)」とは言えるけど、
「W=∞のときB/W=0(つまり無色)」とは言えないのです。
「→∞」はOKだけど「=∞」はNGなのです。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

なるほど。
いまいち→の時と=の時の本質的な違いがわからないですが、→の方は「極限に持っていったとき」と解釈するのだと思います。
極限は無色。でも水の量が無限大の時は無色ではない。私にはこの辺の解釈にも誤解がありそうです。
ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-06-05 22:34:52
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

何度もご登場いただき恐縮です。
補足のほうもご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-05 22:17:00
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  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

 ゼノンのパラドックスについては2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられるので2と同一視しても、2に近いどんな数よりも、2で計算した場合との誤差が小さくなるので、結局2と同一視してしまっても良いということなのだと思います(数の体系のなか=計算上では同じ)。  ただし、たとえば、xにこの値のようなものを考えると1/(x-2)の場合は-∞に発散するのに対して、2では不定になるので、順次アキレスの位置 ...続きを読む
 ゼノンのパラドックスについては2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられるので2と同一視しても、2に近いどんな数よりも、2で計算した場合との誤差が小さくなるので、結局2と同一視してしまっても良いということなのだと思います(数の体系のなか=計算上では同じ)。
 ただし、たとえば、xにこの値のようなものを考えると1/(x-2)の場合は-∞に発散するのに対して、2では不定になるので、順次アキレスの位置と亀の位置を追跡して、何らかの操作をした場合いつも正しいとは思いませんが、それはふつうは考えようとしている1/(x-2)のような関数の性質に過ぎません。私たちの世界がもし1/(x-2)のようなものを通してしか物体の運動を捉えられないのであれば、たぶん、ゼノンのパラドックスは物理学的な問題となると思いますが、速さが定義されているのであれば、そういう認識ではないということだと思います。つまり、1/(x-2)のような関数から逆に時刻(場所)2における速さは定義できないわけで、それを定義しているからには、その空間は滑らかでかつ有限の範囲で到達可能なものをゼノンは考えているに違いないと思います。

 熱力学の第3法則は絶対零度まで準静的、断熱的(エントロピーを増加させない)過程で変化させたとき、絶対零度でエントロピーがなくなることから、したがって、有限温度(エントロピーが有限の状態)とはうまく連絡しないことから、有限回の操作では到達できないと言う意味で、無限回の操作を無限に早く行うことができればいいのでしょうが、系の変化を非常に早くするということは、非常に高いエネルギーを系にあたえることになるので(不確定性原理)無理なのではないでしょうか?(これは物理的な説明です。)
数学的には1/(x-2)のようなものになっていて零度というのは、ちょっと通り過ぎれない=零度での変化のスピードのようなものを規定できない状態になってしまっているのだと思います(ほんと??)。
(この2つの説明は全く違うものだと思うのですが、同じ意味なのだろうか?と勝手に違うことかんがえてしまいました。)

下記URL(?)で教えて!goo上で同様の議論がされているのでとても参考になると思います(毎回盛り上がるようです)。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

む、難しいです。
すみません。私に理解力がないのが原因ですが。

♪2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられるので2と同一視しても、2に近いどんな数よりも、2で計算した場合との誤差が小さくなるので、♪結局2と同一視してしまっても良いということなのだと思います

例えば数直線上に、2があって、「2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられる」数をNとすると、そのNと2の間には数があるように思えるのですが・・・。とすると、「2に近いどんな数よりも2に近いもの」という定義に反することになりますし、かといって数直線状のNと2の間は稠密なので数がないことも言えないと思います。うーむ。わからなくなってきました。

♪1/(x-2)のような関数から逆に時刻(場所)2における速さは定義できないわけで、それを定義しているからには、その空間は滑らかでかつ有限の範♪囲で到達可能なものをゼノンは考えているに違いないと思います。

なるほど。ゼノンの意図する舞台については考えていませんでした。その定義されている、場所2の速さであるとかは全てゼノンの定義の産物だとすれば、追いつけるのはもはや自明のこととして受け入れざるを得ませんね。それは実際に競争させたとき追い抜くのと同等の価値をもつものと思われます。

参考URLこれまた難しそうですが、がんばって読んでみます。
投稿日時 - 2001-06-04 00:45:29
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

ご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-04 00:23:45


  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 35% (18/51)

なぜ1+1/2+1/4+1/8+.....が2になるか、という疑問についてです。 まず、この計算をどうみるか、ですが、初めに2の1/2の1を足します。 そうすると2までは残り1です。 次にその1/2を足します。すると答えは 3/2 で2までのこり 1/2 です。 というように、2までの残りが 1 1/2 1/4 1/8....と半分ずつになるように足しています。 さて、 1)和は決し ...続きを読む
なぜ1+1/2+1/4+1/8+.....が2になるか、という疑問についてです。

まず、この計算をどうみるか、ですが、初めに2の1/2の1を足します。
そうすると2までは残り1です。
次にその1/2を足します。すると答えは 3/2 で2までのこり 1/2 です。
というように、2までの残りが
1 1/2 1/4 1/8....と半分ずつになるように足しています。

さて、
1)和は決して2を越えない
2)和は 1(=8/8) 3/2(=12/8) 7/4(=14/8) 15/8......と順に増加し、減少しない
3)どんな正の数xに対しても、十分な有限回数和を繰り返すと、和は2ーxよりも大きくなる。
→なので、和は2になります。

3)がメインな部分で、たとえば、x=0.1 とすると、
   「何度もくりかえせば有限回で和は 1.9 を越える。」
x = 0.001 とすると、
   「何度もくり返せば有限回で和は 1.999 を越える」
ということが、xをいくつにしても必ず成り立つ、と言っています。
つまり、1.9 でも 1.99999でも、和を繰り返せば有限回数それを越える、といっています。

何回かの操作で 1.9 を越えるのだから、無限の和は少なくとも1.9より大きいですよね。
和は増え続けるので、有限でそこに達するのなら、無限の和は少なくとも1.9よりも大きいし、1.99999よりも大きいし、1.999999999999999 よりも大きいのです。

ではなぜ3)が成り立つかというと、初めに言ったように一回足し算をすると2までの残り(式ではx)が半分ずつになっていきます。
つまり、残りは 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 .... 0.0078125 ...... 0.0009765625 .... と際限なく小さくなっていきますが、ある桁までは有限回で到達できます。


結局、和は2よりも大きくはないし、2よりも小さい数(2ーx)を考えるとそれよりかは必ず大きいのです。
2-x<= 無限和 <= 2
で、xについて際限なく小さい数を考えれば、無限和は2よりもほんのちょっともずれてはいけなことになります。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

うーむ。
結局私は無限と言うものの考え方や取り扱いを間違ってるから誤解が生じてるのでしょうか?

♪3)どんな正の数xに対しても、十分な有限回数和を繰り返すと、和は2ーxよりも大きくなる。
♪2-x<= 無限和 <= 2
♪で、xについて際限なく小さい数を考えれば、無限和は2よりもほんのちょっともずれてはいけなことになります。

3)については多分納得できたと思います。つまり、X=0.1の場合でも5回目に1.9375となって2-Xを超えるように、Xがどんな場合でも成り立つと言うことですよね?
しかし、なぜほんのちょっともずれてはいけない(=2である)ことが自明なのでしょうか?(←自明と言う言葉の使い方が間違っていたらすみません)
例えば限りなく透明に近いブルー(ブルーのインク一滴、純水無限大)はブルーだと思うのですが、この考え方だと透明に成りませんでしょうか?なぜブルーかと思う根拠は、最初の一滴があるからです。
投稿日時 - 2001-06-04 00:16:40
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

草木どころか菌類あたりまで眠りについてそうな寅二つ時に、ご回答どうもありがとうございます。この場で補足のほうも書きたいのですが、今から外出しなければなりません。あとでじっくり考えて補足をアップさせていただきます。
投稿日時 - 2001-06-03 09:14:09
  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 15% (16/104)

えーと、半端な回答になってしまうのですけど。。。 等比級数1/2、1/4、1/8、・・・、(1/2)^∞の和は1になるからです。「収束」とした方がいいのかな。。。 タブン上の方に詳しい方が回答されると思うんですけど。 ゼノンのパラドックスについは結局、カメに追いつくまでの作業を細かく分けて考えているだけなんですよね。 ...続きを読む
えーと、半端な回答になってしまうのですけど。。。
等比級数1/2、1/4、1/8、・・・、(1/2)^∞の和は1になるからです。「収束」とした方がいいのかな。。。
タブン上の方に詳しい方が回答されると思うんですけど。

ゼノンのパラドックスについは結局、カメに追いつくまでの作業を細かく分けて考えているだけなんですよね。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

そうねんですよね。

(1).「追いつく」間での作業を無限に細かくできる
(2).1より、計算で求めようとすれば無限回計算する必要がある。
(3).無限回計算することは不可能である。
(4).2および3より計算している間はいつまでも追いつけない。
(5).しかし、終わることない計算のはず(無限に計算するのが不可能なのは、無限に数えられないのと同じ)なのに、「追い越す」ことができる。つまり計算している間は追いつけないのに、無限の彼方に(無限の計算がなされたとすると)追いついている。

いやはや。もしかして言葉の意味とかも関係してくるのでしょうか?
投稿日時 - 2001-06-03 09:09:55
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

回答ありがとうございます。
補足の方もご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-03 09:02:05
  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 30% (25/81)

秒速2mのアキレスと、秒速1mの亀、亀はアキレスの2m手前からスタート、とすると、 ゼノンの言い分は、 スタート1秒後:アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前 そこから0.5秒後:アキレスは亀のスタート位置+1m、亀は0.5m前 そこから0.25秒後:アキレスは亀のスタート位置+1.5m、亀は0.25m前 ・・・ だからアキレスは亀に追いつけないというものですね。 この計算を無限に進 ...続きを読む
秒速2mのアキレスと、秒速1mの亀、亀はアキレスの2m手前からスタート、とすると、

ゼノンの言い分は、
スタート1秒後:アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
そこから0.5秒後:アキレスは亀のスタート位置+1m、亀は0.5m前
そこから0.25秒後:アキレスは亀のスタート位置+1.5m、亀は0.25m前
・・・
だからアキレスは亀に追いつけないというものですね。
この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。「スタートから2秒後」がミソです。有限時間です。

別の言い方をすれば、ゼノンは「2秒未満ではアキレスは亀に追いつけない」といっているに過ぎないのです。

一方絶対零度の方は、毎回の操作は同じ時間と考えるのですよね。
1回目の操作:絶対X度
2回目の操作:絶対X/2度
3回目の操作:絶対X/4度
・・・
この計算を無限に進めると「無限回の操作で絶対零度」になります。しかし、この場合、必要な時間が有限ではないのです。

2回目以降の操作が前回の操作の半分の時間になるなら、アキレスが亀に追いつくのと同様に、有限時間で絶対零度にたどり着けます。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

なるほど。
まず、熱力学第3法則?はなぜ真なのかは理解できました。ゼノンの方が有限時間の中で無限に計算するのに対し、到達するのに使う時間が無限だからと言うことですね。しかし、

♪この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。

無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「2」と言う解に到達するのが理解できません。人間の神経伝達速度より速い、コンピュータの計算をつかさどるパルスの速さをもってしても、計算する回数が無限なら、なぜ解が有限時間になるのでしょうか?
あの、一応弁解しますが、私ももちろん本気で追いつけないとは思っていないんです(当たり前ですが)。でも、無限を考えるとどうも論理的帰結に矛盾が生じると感じてしまうんです。
無限を数えることはできても(アレフ・ゼロ)無限に数えることはできない・・・と思ってます。
投稿日時 - 2001-06-03 03:33:23
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

深夜にも拘らず素早いご回答どうもありがとうございます。
補足の方もご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-03 03:33:14
  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 30% (25/81)

>無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「2」と言う解に到達するのが理解できません。 「しゅるしゅる」って表現がいいなぁ、気に入った! 気に入ったので、しっかり答えてみよう。 (テキストだけで数式をどれだけ表現できるか不安だけど。。。) 先の回答に↓と書きました。 >スタート1秒後:アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前 >そこから0.5秒後:アキレスは亀のスタート位置+1m、亀 ...続きを読む
>無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「2」と言う解に到達するのが理解できません。

「しゅるしゅる」って表現がいいなぁ、気に入った!
気に入ったので、しっかり答えてみよう。
(テキストだけで数式をどれだけ表現できるか不安だけど。。。)

先の回答に↓と書きました。
>スタート1秒後:アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
>そこから0.5秒後:アキレスは亀のスタート位置+1m、亀は0.5m前
>そこから0.25秒後:アキレスは亀のスタート位置+1.5m、亀は0.25m前

アキレスの位置を無視すれば、N行目の記述は「そこからA(N)秒後:亀はB(N)メートル前」と書くことになります。A(N)とB(N)はそれぞれ「1/2^(N-1)」((2の(N-1)乗)分の1)です。

N→∞のときA(N)→0、B(N)→0は問題ないと思いますが、B(N)→0は「いつか追いつく」ことを表しています。あとは「有限時間で追いつくのか?」「じゃあいつ追いつくんだ?」が問題になるわけです。

S(N)=A(1)+A(2)+・・・+A(N)
と定義したときに
N→∞のときS(N)→2というのが今回の「しゅるしゅる」の正体です。

S(N)の定義から、
S(N+1)={A(1)+A(2)+・・・+A(N)}+A(N+1)
   =S(N)+A(N+1)
一方で、
A(N+1)=A(N)/2ですから
S(N+1)=A(1)+{A(2)+A(3)+・・・+A(N)+A(N+1)}
   =A(1)+{A(1)/2+A(2)/2+・・・+A(N-1)/2+A(N)/2}
   =A(1)+{A(1)+A(2)+・・・+A(N-1)+A(N)}/2
   =A(1)+S(N)/2
   =1+S(N)/2
従って
S(N)+A(N+1)=1+S(N)/2
よって
S(N)=2-2A(N+1)
となります。
N→∞のときA(N+1)→0ですから、S(N)→2

上記により「しゅるしゅる」と2という解に到達するのです。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

うーむ・・・。
数式で書くとこんなにもエレガントに解が出ますね。それは「N→∞のときA(N)→0、B(N)→0」を受け入れてと言うことですが(受け入れるも何も無限回の計算で追いつくとが不思議だからたずねてるんじゃないの?と言うつっこみはなしです)。
と言うことはやはり私の無限の性質の考え方に勘違いがあったのかなと思います。hogehogeninjaさんの補足のところで書いた「限りなく透明に近いブルー」はもはやブルーではなく透明なのですね。でも・・・なんか完全に納得できないんですよね。

申し訳ございませんが、もうちょっと閉めずにあけさせてください。考える時間が足りません。
他の人の回答も拝見したいので。happy_peopleさんわがままをお許しください。
投稿日時 - 2001-06-04 01:38:17
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

再度のご登場およびご回答ありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-04 00:52:16
  • 回答No.6
レベル14

ベストアンサー率 15% (594/3954)

しょうもないことですが、 「限りなく透明に近いブルー」はブルーですよ。 「透明」は「無色」でないから、何色をした透明もあります。 透明に近い、は、濁りがなくて、透明に近い、ということになりますね。 ...続きを読む
しょうもないことですが、
「限りなく透明に近いブルー」はブルーですよ。
「透明」は「無色」でないから、何色をした透明もあります。
透明に近い、は、濁りがなくて、透明に近い、ということになりますね。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

そうなんですか。
でもよく考えると仰る通りかなと思います。

あの、では「限りなく無色に近いブルー(ブルーのインク一滴、純水無限大)」とお読み替えください。

全然しょうもなくないです。ご指摘ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-06-04 18:35:07
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

アドバイスありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-04 18:34:54
  • 回答No.11
レベル10

ベストアンサー率 40% (54/135)

回答No.4への補足です。 >例えば数直線上に、2があって、「2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられる」数をNとすると、 >そのNと2の間には数があるように思えるのですが・・・。 >とすると、「2に近いどんな数よりも2に近いもの」という >定義に反することになりますし、かといって数直線状のNと2の間は >稠密なので数がないことも言えないと思います。 ...続きを読む
回答No.4への補足です。

>例えば数直線上に、2があって、「2に近いどんな数よりも2に近いものとして考えられる」数をNとすると、
>そのNと2の間には数があるように思えるのですが・・・。
>とすると、「2に近いどんな数よりも2に近いもの」という
>定義に反することになりますし、かといって数直線状のNと2の間は
>稠密なので数がないことも言えないと思います。

数学で同じモノって何?ということをおっしゃっているのかなぁと思いました。
>そのNと2の間には数があるように思えるのですが・・・。
というのはその数が「2に近いどんな数よりも2に近いもの」なので、
定義が同じなら同じもの(前提に矛盾している)という点で数学の上で
同じもの(あるいはありえないもの)なのだと思います。
(それで、数学の上では矛盾は生じないのではないでしょうか?
 一意性の証明ではこんな感じの議論がでてきて、
 とえば、最大値のようなものを考えてそれより大きいものを考えると
 それは最大値と同じになる
 (したがって最大値は一意に決まる、もちろん状況によりますが)
 というように常識的に考えていると思います。)
>稠密なので数がないことも言えないと思います。
ほとんどご自分で回答されていると思うのですが、
完備な空間を考えているので
稠密な空間の極限として2が有るのだと思います。

(ゼノンさんが考えられてるのは2未満の離散的な系で
 そのくせ、スピードというのを2を含めた系で考えているのが
 主張として変じゃないのかなぁというのが私の主張です。)

無限回の操作でしか定義できない数が気に食わないという立場をとると
無限回の操作を前提にしている考え方なので回答には程遠くなりますが、
無限回の反論と無限回の補足によって
矛盾は無限に葬り去られるのではないでしょうか(冗談です。)

教えて!gooの検索URLに0.999をいれて
http://oshiete1.goo.ne.jp/goo_search.php3?id=null&dummy=%A5%E1%A1%BC%A5%EB&kw=0.999
URLのリファレンスにしたら、この質問自体が引っかかるですね。勉強になりました。ありがとうございました。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

♪とえば、最大値のようなものを考えてそれより大きいものを考えると
♪ それは最大値と同じになる
♪ (したがって最大値は一意に決まる、もちろん状況によりますが)
♪ というように常識的に考えていると思います。)

このような考え方があるとは!
新しい驚きです。ここに質問するたびに思うことですが、いかに自分が勉強していないがわかりました。
うーむ。「2に近いどんな数よりも2に近いもの」ですか・・・。
ここまでくると日本語の表記もかなり微妙になってきませんか?2と同一視してよいのに、「近い」とは・・・。

♪>稠密なので数がないことも言えないと思います。
♪ほとんどご自分で回答されていると思うのですが、
♪完備な空間を考えているので
♪稠密な空間の極限として2が有るのだと思います。

すみません。「稠密」という言葉の私の理解は、異なる2数の間には、必ず別の数があると言うくらいです。
その稠密な空間の極限として、2がある(もちろん今回motsuanさんが仰った説明を含めて)。なるほど。非常にわかりやすい回答でした。どうもありがとうございます。
投稿日時 - 2001-06-10 20:21:48
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

再度のご回答ありがとうございます。
補足の方も合わせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-10 20:21:27
  • 回答No.10
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

ちょっとだけ補足しておきます。 10進数で x=9/10+9/100+9/1000+....  = (10-1)/(10^1)+(10-1)/(10^2)+(10-1)/(10^3)+..... というものを小数で表せば x=0.999.... ですね。同様にして、 y=1/2+1/4+..... = (2-1)/(2^1)+(2-1)/(2^2)+(2-1)/(2^3)+.... を ...続きを読む
ちょっとだけ補足しておきます。
10進数で
x=9/10+9/100+9/1000+....
 = (10-1)/(10^1)+(10-1)/(10^2)+(10-1)/(10^3)+.....
というものを小数で表せば
x=0.999....
ですね。同様にして、
y=1/2+1/4+.....
= (2-1)/(2^1)+(2-1)/(2^2)+(2-1)/(2^3)+....
を2進数の小数で書きますと
y=0.111.....
ということになる。
ですから、ご質問は「2進数において0.111....は1と同じなのかどうか」という問題と等価です。かくて、10進数か2進数か、という表現の違いを除けば、0.999...の議論と全く同じ話に帰着する訳です。

なお、不完全性定理はあんまり関係ないっす。
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

えっと・・・すみません。

どうして2進数の事が出てきたのかわかりません。
補足なさっている内容はわかりやすく、納得いきました。
つまり、n進数(n>1)で、(n-1)/(n^1)+(n-1)/(n^2)+(n-1)/(n^3)+・・・は1と等価であると言うことですよね?

私が自分で気づかないうちに、本質的なことを伺ったのかもしれません。お手数ですが、よろしければなぜ2進数のことを補足なさったのかを説明していただきたいのですが。

♪なお、不完全性定理はあんまり関係ないっす。

あ、昨日古本屋さんで以下の啓蒙書(ブルーバックス)を買ってきました。
「ゲーテル・不完全性定理」吉永良正
でも面白そうなので読んでみます。
投稿日時 - 2001-06-09 21:03:58
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

再度のご回答ありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-09 21:03:04
  • 回答No.9
レベル9

ベストアンサー率 35% (18/51)

任意の正の数xについて 2-x<=無限和<=2 から、 無限和が2よりもほんのちょっともずれてはいけない、がなぜいえるかといいますと、無限和が2-aと表されたとき、x=a/2ととると不等式に矛盾するからです。 これが「ほんのちょっともずれてはいけない」ということです。 ここまでは実数の定義に依存しない議論なので、イコールと言ってないところがみそ(?)。 2と「2からほんのちょっともずれ ...続きを読む
任意の正の数xについて
2-x<=無限和<=2
から、
無限和が2よりもほんのちょっともずれてはいけない、がなぜいえるかといいますと、無限和が2-aと表されたとき、x=a/2ととると不等式に矛盾するからです。

これが「ほんのちょっともずれてはいけない」ということです。
ここまでは実数の定義に依存しない議論なので、イコールと言ってないところがみそ(?)。

2と「2からほんのちょっともずれていない数」が等しいかどうかはその人の採用した定義によるわけですね。^^;

(というか、実数の定義があってそれに依存することは知っていたのですが、詳しい定義を知らなかったのでつっこんでいえませんでした。stmachmanさんどうもです^^ )
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

なるほど!
非常にわかりやすかったです。

♪無限和が2よりもほんのちょっともずれてはいけない、がなぜいえるかといいますと、無限和が2-aと表されたとき、x=a/2ととると不等式に矛盾す♪るからです。
♪これが「ほんのちょっともずれてはいけない」ということです。
♪ここまでは実数の定義に依存しない議論なので、イコールと言ってないところがみそ(?)。

なぜ「ほんのちょっともずれてはいけない」なんて回りくどい言い方をなさったのだろう?と思ってました。
実数の定義
http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339
を読んで、hogehogeninjaさんの回答と比べて本質的には同じと言うことを認識したいと思います。
投稿日時 - 2001-06-09 04:53:57
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

再度のご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-09 04:26:39
  • 回答No.8
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

過去の質問で "無限ホテル"と"0.999"を検索すれば、この問題と関連する解説がいろいろ得られると思います。例えば↓ ...続きを読む
過去の質問で "無限ホテル"と"0.999"を検索すれば、この問題と関連する解説がいろいろ得られると思います。例えば↓
補足コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

参考URL拝見しました。

・・・難しいっス。
でもなんとなく、勉強したらいいターゲットができました。まずは、実数の扱いや不完全性定理に関する啓蒙書から読んで見ます。

stomachmanさんの解説No.9の
♪[5]まとめ
♪0.9999...... は無限個の集合の和という表現。1は有理数を使った表現。しかしてその実体は、無限個の有理数の集合Sです。
♪実体がある。だから、
♪『表現によらず、同じなのか違うのか、きちんと判断できる。』
♪これが「実数を定義した」という事、その本質です。

ここの部分、ナイスですね。しっかり理解するためにはまだまだ勉強しなければならないことがたくさんありますが。
無限を計算することはできる(1+1/2+1/4+1/8+・・・・=2)。だが無限に計算することはできない。
アキレスと亀の場合は前者で事足りるのに(2で追いつくのに)、やっぱり後者も意識してしまいます。

回答を閉めるのを忘れているわけではありませんのでもう少しあけておきます。
投稿日時 - 2001-06-07 23:30:04
お礼コメント
Magoichi

お礼率 95% (66/69)

ご回答どうもありがとうございます。
補足のほうもあわせてご覧ください。
投稿日時 - 2001-06-07 23:08:28
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