2進法と16進法の加減算

質問

みなさん始めまして！よろしくおねがいします。基本情報の問題です。
以下の計算につき、桁上がりや桁借りをふくめた解説お願いいたします。
-----ココから
2進法
　Ａ：00110101　Ｂ：00011110
　Ａ+Ｂ
　Ａ-Ｂ

16進法
　Ａ：ABCD　Ｂ：9876
　Ａ+Ｂ
　Ａ-Ｂ
-----ココまで

回答No.3

noname#598 · ベストアンサー

Ａ：110101　Ｂ：11110
Ａ+Ｂについて
110101＋11110＝121211
ここで、２＝10だから（これが桁上がりです）、202011
再び２＝10より、Ａ＋Ｂ＝1010011

Ａ－Ｂについて
一の位は１－０だから桁借りがなく、１（残りは11010-1111）
十の位は０－１だから桁借りをして、10－1=1（残りは1100-111）
百の位も０－１だから桁借りをしたいが、Aの千の位が０なので、更に桁借りをしておく。（つまり、100=12）
面倒なので千の位も同時に考えて12-11=01（残りは10-1）
一万の位は桁借りをして10-1=1　これで計算終了。
Ａ－Ｂ＝10111

16進法
　Ａ：ABCD　Ｂ：9876
これでは引き算のときに桁借りがないので、
　Ａ：13579 Ｂ：ABCD
これでやってみましょうか。（自爆しそうだけど（笑））
Ｇ＝10　に注意します。

Ａ＋Ｂについて
一の位
　9+D=(Dから３つ進むとGで、６余るから)6（十の位は桁上がり）
十の位
　1+7+C=(Cから４つ進むとGで、４余るから)4（百の位は桁上がり）
百の位
　1+5+B=(Bから５つ進むとGで、１余るから)1（桁上がりあり）
千の位
　1+3+A=E　（桁上がりなし）
以上より、A+B=1E146

Ａ－Ｂについて
一の位はＢの方が大きいから桁借りをしておく。
　19-D=（19から13戻って）６
十の位は一の位で桁借りがあったので、6-Cとなり、またBの方が大きいので桁借りをする。
　16-C=（16から12戻って）４
百の位も同様に、
　14-B=3
千の位も同様に
　12-A=2
よって、Ａ－Ｂ＝2346

こんな感じでよろしいでしょうか？

お礼

どれもよかったのですが、私的にベストはコレでしょうか。桁上がり、桁借りにかんしてもこの説明で飲み込めました。一番うれしかったのは16進数の引き算で桁借りが発生するよう問題をアレンジしてくださったことです（涙）サンキューベリーマッチでした。

回答No.5

good777

【2進法】
　Ａ：00110101　Ｂ：00011110

★　Ａ+Ｂ *******************************************

　 Ａ：00 11 01 01　
+　Ｂ：00 01 11 10
------------------
11 ←01+10=10
1 00　　 　←01+11=100
1 00 　　　　←11+01=100
-------------------
01 01 00 11

★　Ａ+Ｂ ******************************************
Ａ：00110101　　+10=00110111
-　Ｂ：00011110　　+10=00100000
------------------
Ａ、Ｂともに10をくわえてからひいても差Ａ－Ｂは変わらない
Ａ：00110111　
-　Ｂ：00100000
------------------
　　　00010111

【16進法】
　Ａ：ABCD　Ｂ：9876

★　Ａ+Ｂ *********************************************
　　　　ABCD
　　 　+9876
-------
13 ←D+6=13
13 ←C+7=13
13 ←B+8=13
13 ←A+9=13
--------
14443

★　Ａ-Ｂ *************************************************
　　　　ABCD
　　 　-9876
-------
7 ←D-6=7
5 ←C-7=5
3 ←B-8=3
1 ←A-9=1
--------
1357

説明読むのもかったるいという人向けに
説明文を極力省いてみました。
題して、「目で解く、記数法」
ただし、スペースキーが反映されないとしたら
悲惨な結果になりそう。

お礼

基数計算に関してある程度知識があればこれくらい簡潔な説明がかったるくなくてよかったのかも。でもでもわたしは数学音痴なんですぅ(^^;;;。ありがとうございます。

回答No.4

noname#598

ゆっくりやってたら先を越されてしまった（笑）
一応こんなのを見つけてきたので置いていきます。

参考URL：

http://www.josaigakuen.ac.jp/~yoshi561/syumi.htm

お礼

検索でもいろいろさがしたんですけど、このページはひっかからなかった。ナイスサーチ！ありがとうございます。

回答No.2

hero1000

n進法ならば、各桁の和（繰り上がり分があるときは、それも含む）をxとすると、
　x ≧ n　ならば　１つ上の位に1繰り上がり、(x-n)がその桁の答え
　x ＜ n　ならば　そのままxがその桁の答え
となります。
引き算の場合は、各桁の差（繰り下がり分があるときは、それも含む）をyとすると、
　y ＜ ０　ならば　１つ上の位から1繰り下がり、(y+n)がその桁の答え
　y ≧ ０　ならば　そのままyがその桁の答え
となります。

2進法　A:00110101　B:00011110
これを2^0の位（右端）から順に計算していきます。
2^0の位　1+0 = 1
2^1の位　0+1 = 1
2^2の位　1+1 = 2 → 1繰り上がって、この桁は0
2^3の位　0+1 +1（繰り上がり分）　= 2　→ 1繰り上がって、この桁は0
2^4の位　1+1 +1（繰り上がり分）　= 3　→ 1繰り上がって、この桁は1
2^5の位　1+0 +1（繰り上がり分）　= 2　→ 1繰り上がって、この桁は0
2^6の位　0+0 +1（繰り上がり分）　= 1
2^7の位　0+0 = 0
よって、A+B=01010011bとなります。（末尾の「b」は２進表記を示します）

続いてA-Bです。やはり2^0の位（右端）からの計算です。
2^0の位　1-0 = 1
2^1の位　0-1 = -1　→ 2^2の位から1繰り下がって、この桁は1
2^2の位　1-1 -1（繰り下がり分）　= -1　→2^3の位から1繰り下がって、この桁は1
2^3の位　0-1 -1（繰り下がり分）　= -2　→2^4の位から1繰り下がって、この桁は0
2^4の位　1-1 -1（繰り下がり分）　= -1　→2^5の位から1繰り下がって、この桁は1
2^5の位　1-0 -1（繰り下がり分）　= 0
2^6の位　0-0 = 0
2^7の位　0-0 = 0
よって、A-B=00010111bとなります。

さて、16進法の方ですが、これも考え方は一緒です。
ただし、各桁の計算結果が10以上になった場合はちょっとクセがあります。
10→A、11→B、12→C、13→D、14→E、15→F を覚えて下さい。
A:ABCD　B:9876
まずA+Bを求めます。やはり16^0の位（右端）から計算します。
16^0の位　D(13)+6 = 19 →16^1の位に1繰り上がって、この桁は3
16^1の位　C(12)+7 +1（繰り上がり分） = 20 →16^2の位に1繰り上がって、この桁は4
16^2の位　B(11)+8 +1（繰り上がり分） = 20 →16^3の位に1繰り上がって、この桁は4
16^3の位　A(10)+9 +1（繰り上がり分） = 20 →16^4の位に1繰り上がって、この桁は4
16^4の位　A、Bともにこの位がないので、 0+0 +1（繰り上がり分） = 1
よって、A+B=14443h（末尾の「h」は16進表記を示します）

つぎにA-Bです。
16^0の位　D(13)-6 = 7
16^1の位　C(12)-7 = 5
16^2の位　B(11)-8 = 3
16^3の位　A(10)-9 = 1
よって、A-B=1357hとなります。

ちょっとゴチャゴチャしてしまいましたが、わかりましたでしょうか？

お礼

私てきにセカンドベストはこれでしょうか。計算のステップをみやすく、わかりやすく、詳細にシミュレートしたくださいました。サンキュー！

回答No.1

igmp

普通、我々一般人は10進数に慣れ親しんでいます。
10進数の場合は足して10(9+1)以上になったら桁上
がりが、桁借りの場合は10を借り(足し)ます。
この原理は2進数でも16進数でも同様で、2進数の場合
は2(1+1)以上になったら桁上がり、桁借りの場合は2
を借り(足します)。
同じく16進数は、16(F+1)以上になったら桁上がり、
桁借りの場合は16を借り(足します)。

お礼

問題の解き方を一通り理解したあとで、知識をざっと整理するのに役立ちました。ありがとうございます。