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記号の意味が・・・
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puni2さんのご回答にちょっとだけ補足。 ∀x∈R(○○)と∃x∈R(○○)は略記法です。それぞれ正式には ∀x(x∈R→○○) 「任意のxについて、もしxがRの要素であるならば○○である。(だから、もしxがRの要素でない場合には、○○であるか○○でないか、どちらでも良い)」 ∃x(x∈R∧○○) 「あるxが存在して、xはRの要素であって、しかも○○である、そういうxが存在する。」 と書く。こっちのほうが意味がはっきりしてるでしょう? また、∀x(∀y(○○)) は ∀y(∀x(○○)) と同じであり、∃x(∃y(○○)) は ∃y(∃x(○○)) と同じですが、∀x(∃y(○○)) と ∃y(∀x(○○)) は全然意味が違うことに注意する必要があります。例えば ∀x(∃y(x∈R→(y=2x∧y∈R))) これは「どんな実数もその2倍というものが定義されていて、それは実数である」という意味で、もちろん真です。しかし、 ∃y(∀x(x∈R→(y=2x∧y∈R))) となると「どんな実数を2倍しても同じyという値になる、そういう実数yが存在する」という訳で、これは偽ですね。 さらに、∀x(∃y(○○))では括弧がうるさいので、紛らわしくない限り ∀x∃y○○ のように括弧を省くのが普通ですが、本来括弧があるものと思ってください。∀x,y,z(○○)も本来は∀x(∀y(∀z(○○)))の意味であることはもうお分かりでしょう。 ついでに X:= Y については、(古典的かつエレガントな)プログラミング言語ALGOLで導入された記号で、本来は「左辺の変数xの値を強制的にyの値にする」つまり代入を表しています。(このスタイルはPascalなどに伝承されていますね。)これを類推で「xをyで定義する」つまり「右辺の意味を表すために左辺のような略記法を導入する」と読み替えて使うようになったようです。だから、 ∀x∈R(○○):=∀x(x∈R→○○) という訳です。 ほかにも、左辺を右辺で定義する、ということを示すのに x≡y とか(これは合同式と混同しやすい) =の上に△を載せた記号を使う人もいます。
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- puni2
- ベストアンサー率57% (1002/1731)
では,私からは∀と∃について。 ○○がxを含む命題だとして, ∀x{○○}で,「どんなxについても○○である」 ∃x{○○}で,「○○であるようなxが(少なくとも一つ)存在する」 たとえば,実数の集合をRとすると, ∀x∈R{○○}で,「全ての実数xについて○○である」 ∃x∈R{○○}で,「○○であるような実数xが存在する」 それぞれ,existとanyの頭文字をひっくり返したといわれています。 (ただ,私が大学1年のときに教わった先生は「anyというのは俗説で,本当はarbitrary(任意の)から来ているんだ」と力説しておられました。 微積ですと,極限とか連続の定義のところでよく登場しますね。
- burgess_shale
- ベストアンサー率29% (9/31)
詳しくは参考URLをご覧下さい。 「:=」 は定義式の時に使います。 x:=tanθとすると、tanθをxと定義するというふうに使っています。 お役に立ちましたでしょうか?
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