熱力学の問題が分かりません教えてください

質問

ある気体が体積V1からV2に可逆的に膨張したとする。また、気体の質量m膨張前の気体の温度と圧力はそれぞれT1,P1膨張後の気体の温度と圧力はそれぞれT2、P2、ガス定数Rとする。ただしこれら以外に必要な記号は自分で定義してその説明を記しておくこと。また気体はすべて理想気体であると仮定せよ。

1この膨張が断熱的に行われた場合の膨張後の温度を膨張前の状態量と膨張後の体積および比熱比kとを用いて表現せよ。ただしその表現は熱力学の第一法則から導きその導出過程を丁寧に示すこと

この膨張が等温的に行われた場合の膨張後のエントロピーを膨張前の状態量と膨張後の体積とを用いて表現せよ。ただしその表現は熱力学的の第二法則及び第一法則から導きその導出過程を丁寧に示すこと。

すいませんさっぱりわからないので教えていただけると助かります。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんにちは。

面倒なので、 質量m= 1とします。

熱力学の第一法則は
　dQ = dU + PdV
断熱なので、
　dU + PdV = 0
理想気体なので、
　dU = cv・dT
　PV = R・T
よって、
　cv・dT + (RT/V)・dV = 0
両辺をTで割り
　(cv/T)dT + (R/V)dV = 0
これを積分するし、
　cv∫(1/T)dT + R∫(1/V)dV = 0
　cv・log(T) + R・log(V) = c
　cv・log(T) + (cp-cv)・log(V) = c
　cv・(log(T)-log(V)) + cp・log(V) = c
　log(T/V) + κ・log(V) = c
　log(T・V^(κ-1)) = c
よって、
　T・V^(κ-1) = 一定
また、PV = RTより
　PV^(κ) = 一定

◇エントロピーSとし、可逆的な等温変化を仮定する。
また、状態(T,V1)から状態(T,V2)へと変化したものとする。
すると、
　TdS = dQ = dU + PdV
理想気体なので、
　dS = dU/T + (P/T)dV = (cv/T)dT + (R/V)dV
等温変化なので、dT = 0
　dS = (R/V)dV
よって、
　S2-S1 = [V1からV2]∫(R/V)dV = R・log(V2/V1)

状態(T,P1)から状態(T,P2)に移ったとき、
エントロピーは状態量なので、その値は、その過程によらず不変。
　P!V1 = P2V2
　V2/V1 = P1/P2
なので、
　S2 - S1 = R・log(V2/V1) = R・log(P1/P2)