オイラー（など）和公式＝テイラー展開可能性？

質問

オイラーの和公式やオイラー・マクローリンの和公式が成り立つことは、テイラー展開の可能性と同値ですか。

回答No.1

ateri

オイラーの和公式というのを知らなかったので調べてみたのですが、
この証明にはC^∞級であることだけ仮定しても十分なように見えます（Wikipediaを見る限り）。
しかし「テイラー展開可能」であることは「何回でも微分可能（C^∞級）」より真に強い条件（C^ω級）です。
C^ωがC^∞より真に強いことは、
f(x)=e^(-1/x) (x>0), f(x)=0 (x≦0) という関数を考えると良いです。
このfは原点で滑らかにつながっていますが、原点で各階の微分係数が0となってテイラー展開できません。

お礼

誠に有難う御座いました。

補足

しかし、原点で各階の微分係数が０となっても、テイラー展開の定義の式から、f(x)=0+0+0+・・・=0 というテイラー展開ができることになるのでは？