計算があっていますか？

質問

y = x^2　（ｙ　＝　xの２乗、原点を頂点とする放物線）
y= x +2　

の交点は（2, 4）と（-1, 1）ですよね。この放物線と直線に囲まれた領域を直線を軸にくるっと回転させて出来た立体の体積を求めます。

いま放物線上のx＝ｔ　（-1≦t≦2）を考えると、この(t, t^2)と直線との距離は、

|t-t^2+2|/√2より、x = t、x = t + dtの間の図形を円柱と近似して、dVを求めると

{(t-t^2+2)^2π(√2dt)} /2 = (√2/2) π(t-t^2+2)^2dtとなる。さてこれをt=-1から2までtで積分した結果です。

(√2/2) π∫[2, -1] (t-t^2+2)^2dt = (81√2/20) π

であっていますか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

V=V1+V2

>(√2/2) π∫[-1, 2] (t-t^2+2)^2dt = (81√2/20) π
>であっていますか？

間違っています。

>{(t-t^2+2)^2π(√2dt)} /2 = (√2/2) π(t-t^2+2)^2dtとなる。
>さてこれをt=-1から2までtで積分した結果です。
積分範囲が間違っています。

グラフを正確に描いて見てください。
添付図のようになるのでt=-1かた2までの積分では正しい体積Vは求まりません。
図の黄色の部分の図形を回転してできる部分の体積V1と
図の水色の部分の図形を回転してできる部分の体積V2の和が
放物線と直線で囲まれた領域の図形を回転してできる体積Vとなります。

黄色の部分を回転してできる体積V1は
　V1=(√2/2) π∫[0, 2] (t-t^2+2)^2dt=16√(2)π/5

水色の部分を回転してできる体積V2は
　V2=(√2/2) π∫[-1/2,0] (t-t^2+2)^2 dt-(√2/2) π∫[-1,-1/2] (t-t^2+2)^2 dt
　　=113√(2)π/160 -23√(2)π/160=9√(2)π/16

放物線と直線で囲まれた領域の図形を直線の周りに回転した回転体の体積Vは
　∴V=V1+V2=16√(2)π/5 +9√(2)π/16=301√(2)π/80 ← (答え)

回答No.1

Tacosan

「積分の計算」は合っている模様.