500円玉の落下速度を教えてください

質問

雨の代わりに500円玉が降ってきたら良いのにと言ってる人がいて疑問に思ったのですが、落ちて来た500円玉の地上での速度が知りたいです。
また、それをキャッチしたときの衝撃の大きさも可能でしたら教えて下さい(_ _)
よろしくお願いします。

回答No.7

kanemoto_s

衝突時に受ける力ばかりに注目して脱線してしまいましたが、#1さんがおっしゃっているように衝撃の大きさという言葉自体が物理的に未定義ですよね。

運動量に注目するとそもそも取れそうかどうかと言うことが分かります。結局グローブ付けて構えたところに500円玉が落ちてくれば1kg重程度の力を0.1秒以下かけるくらいの動作で取ることは可能だと判断できるのではないかと思います。

運動エネルギーに注目すると受け取るエネルギーの最大値を簡単に計算することが出来ます。受け取るエネルギーが局所に集中する場合、どのような影響が及ぶかや必要な装備が何かを検証するにはこちらの方が便利です。

回答No.6

kanemoto_s

お詫びと訂正

＞人体が速度の二乗に比例するエネルギーを受け取るなんてことはありません
と書いてしまいましたが#5さんをおっしゃる通り。
言い訳をするなら、それなりに遅いことと数学的になめらかにキャッチすることを前提に書いてしまった。

＞Sは代表面積 (1.81×10^-3)×( 2.65×10^-2 ) ～ ( 2.65×10^-2 )^2

(1.81×10^-3)×( 2.65×10^-2 ) ～ π( ( 2.65×10^-2 ) /2 )^2 [m^2]

おそらく私の恥を思って小学生さえ指摘しなかったのだろう。

＞mv = F Δt

衝突中ずっと同じ力がかからないのは#5さんの説明にあるように単純化して考えてもばねで押し返されるよう一定にはならないからである（高校の教科書でさえ一定にはならないことが書いてあるはずだ）。私もそのつもりで仮定形で概念的に書いたつもりなのだが。

衝撃で受ける力が(5)さんの方法でも相対速度や質量に基本的に比例することは言うまでもないだろう。

問題なのは衝突時に力積が使えないとしている点だ。高速度カメラ等で物体の重心を有意に測定可能であれば十分使える。そもそも、キャッチすることを前提にしているのだから物体の位置と撮影時間から力積の式で物体から受けている力を求めたほうがいいように思えてならない。キャッチするということは物体に与える力をコントロールしながら相対速度を０にするという意味と考えるので。現実的にコインをキャッチする瞬間を高速撮影できるかは速度・技量・資材調達力次第ではあるが。

#5さんの方法だとE1=E2・反発係数・弾性率等の前提が正確かと衝突時の変形(x)を測定できるかが問題、力積だと正確な位置と時間差を測定できるかが問題。
気になるならどの程度違うのか実験してみるのが最善。

回転していることやキャッチする方の剛体の力学まで考えろとなるると、元物理学生の私の現在の知識ではお手上げだが。

回答No.5

foomufoomu

書き忘れていましたが、衝撃の大きさを計算するには、力積を使った式でなく、エネルギーを使った式を使います。これは、衝突の時間を知るのは通常不可能ですが、物体をそっと置いたときにどれだけ変形するかを調べるのは簡単だからです。また、前の回答の説明は、衝突中ずっと同じ力がかかるものとして説明していますが、現実にはそんなことはありませんから、この点でも力積を使うのは間違いです。

衝突時の変形に比べて落下距離が十分大きい時は、衝突中の変形は無視して
まず、500円玉を頭に乗せて、頭の変形量ｄを測定しておきます。これより
k=m*g/d　(k:ばね係数　g:重力加速度　m:500円玉の質量　d:変形量)

落下物のエネルギー
E1=1/2*m*v^2　(v:衝突直前の速度)
衝突で失うエネルギー
E2=1/2*k*x^2　(x:衝突時の変形)
で、E1=E2　としてxをもとめて
F=k*x
がもとめる衝撃力(衝突中に頭にかかる最大の力)です。

ただし、E2の式に出てくる1/2は頭が完全弾性体(完全なばね)の場合で、いっぽう完全非弾性体(完全な衝撃吸収ゴムなど)では1.0になります。現実の物体はこの中間なので、物体の性質を見て1/2を調整してください。

この式でわかるように、ｋが小さい(柔らかい)とFは小さくなります。これがコンクリートに落ちるのとスポンジに落ちるのとで衝撃力が違う理由です。

回答No.4

kanemoto_s

ちょっと補足。

#2の方の計算機の空気抵抗係数は
ｋ=ρSC/2

Wikipediaも参照
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%97%E5%8A%9B
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E7%99%BE%E5%86%86%E7%A1%AC%E8%B2%A8

ρは海面高度の大気中なら、気温15℃で 1.2250 kg/m^3 と書いてある
Sは代表面積 (1.81×10^-3)×( 2.65×10^-2 ) ～ ( 2.65×10^-2 )^2
Cは#2ご提示の資料では0.34 ～ 1.11

#3の方も仰ってますが何らかの回転をするので常に一定とはならないです。

衝撃で受ける力はコインの運動量(質量×速度)に比例し、キャッチ（減速）にかかる時間に反比例します（キャッチ中のコインが減速している短い間にずっと同じ力を受けたとするとの話ですが）。
mv = F Δt
高校物理でよくお見掛けする力積というやつです。
衝突時の運動エネルギーは結局大半を地面等が吸収してしまいますので、衝撃で人体が速度の二乗に比例するエネルギーを受け取るなんてことはありません。

回答No.3

CC_T

落下する500円玉には、
・重力加速度
・空気がまとわりつくことによる粘性抵抗
・空気の相対流による圧力抵抗
がかかります。

それらを計算することはできなくはないですが、粘性抵抗や圧力抵抗は形状によってかなり変化し、自由に回転するメダル状物体ではそれを想定することが出来まそうにありません。水平に近い姿勢でふらふらと揺れながら落下する場合と、縦回転しながら落下する場合、それらの衝突。状態がバラバラですね。複数が接近すると周囲の空気渦が干渉して複数枚がごく接近した状態で落ちて来ることもあり得ます。そんな感じで、速度のばらつきは結構ありそうですね。
雨雲の高さは300-2000mとばらつきが大きいですが、おそらく300mも落下してくる間に加速度と抵抗が釣りある平衡速度に達しているでしょうから、降下率の平均値はほぼ一定の値になるでしょう。

一般に、500円玉直径と同じ位の直径の雹（形状は球）の落下速度は、地上到達時点で20m/sくらいです。
500円玉に使われているニッケル黄銅の密度は氷の2.5倍ほどですから慣性力が2.5倍で、雹と同じくらいの空気抵抗を受けるものとすると落下速度は46m/s程度となります。
実際には落ちるときの姿勢によって進行方向に対する断面積が変わりって空気の抵抗が変化しますが、今はとりあえずこの値を代表値として考えても良いでしょう。約165km/hですね。
プロ野球の投手の最速のボールよりまだ早いので、500円玉のサイズからするととても目で追える速さではないですね。

500円玉の質量は約7gですから、野球のボール145gと比べると、５％程度にすぎません。
一方、ボールの断面と500円玉の投影面積からすると7～20分の1の面積比になる。
ですからボールより狭い範囲に力が集中するとはいえ、グローブを着けていれば捕れないこともなさそうですが…。
忘れちゃいけないのは、先の速度はとりあえずの代表値ってこと。
空気の抵抗はおよそ断面積に反比例するので、縦向きになって落ちてくる場合は速度はおよそ3.7倍の秒速170mになる。マッハ0.5(^^;

衝撃力は速度差の二乗で約13.7倍になりますから、衝撃E計算すると…101Jくらいか？
アマチュアテニスのサーブを至近距離で受ける程の衝撃E。コインの頂点に集中するとすると、車のフロントガラスはおろかボンネット板金でも衝突穴が開きかねないですね。本体はそこそこ面積が有るから、貫通はしないでしょうが。
まともに指や肩などの骨部分に当たったらヒビか骨折、頭は野球帽くらいをかぶってればコブで済むかもしれませんが。坊主頭にまっすぐ当たったら頭蓋骨にちょっとめり込む程の怪我を負いそうですね。

とりあえず500円玉が降ってくる外には出ない方が良さそうです。

参考URL：

http://www.youtube.com/watch?v=pkjzpGojLgc

回答No.2

foomufoomu

雨の代わりに・・・の場合は、空気抵抗を考慮した式を使わなければなりません。
次のサイトに計算式と計算機があります。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=05000000.%95%A8%97%9D%8C%F6%8E%AE%8FW%2F01300100.%8E%A9%97R%97%8E%89%BA%2F10000100.%8B%F3%8BC%92%EF%8DR%97L%82%B7%82%E9%8E%A9%97R%97%8E%89%BA%81i%8E%9E%8A%D4%82%A9%82%E7%8Cv%8EZ%81j%2Fdefault.xml

問題は空気抵抗係数C がどれだけなのかですが、つぎによると1.0程度のようです。
http://homepage3.nifty.com/skomo/f28/hp28_63.htm

空気抵抗がある場合、ある程度落下すると、それ以上速度が増えなくなります。前の計算式で重力による力より空気抵抗による力のほうが大きくなった時は、すでに、その状態になっています。

回答No.1

kkanrei

500円玉を落下させるときのもとの地表面からの高さにより違うと思います。
地表面からの高さをH（ｍ）
重力加速度をｇ（ｍ/s^2)＝9.8ｍ/s^2
とすると、地表面における速さは
ｖ＝（2ｇH）＾（1/2）
です。
衝撃力は物理学では定義されていないらしいです。
運動量は質量×速度で求められます。

補足

√(2gh)で求めた場合の単位は何ですか？