1×2×3× etc. =√(2π)

質問

私の本に

Z(s) = 1̂(-s) + 2̂(-s) + 3̂(-s) + etc. = ζ(s)　とおいて、

-Z'(0) = log1 + log2 + etc.　までは、理解できるのですが、

次に、

Z'(0) =　-(1/2)log√(2π) となるのが理解できません。
この変型の解説をしてくださるか、解説してあるＨＰをご存知の方、教えてください。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

-Z'(0) = log1 + log2 + etc などというのは嘘でしょう。どうしてこんなものが理解できるのか理解できない。一見して右辺が発散することが分かるはずです。

Z'(0) =　-(1/2)log√(2π) は正しい。ただし、0の近傍でのZ(s) は、解析接続で定義される。たとえば、次のURL。

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

お礼

回答ありがとうございます。

理解できるかどうかわかりませんが、よくよく読んでみます。

右辺が発散することは承知のうえです。
知ったうえで、

Z'(0) =　-(1/2)log(2π)

の遊びに興じていますので、御懸念無く。
ζ(-1)=-1/12　になる物理現象がみつかったとかの話もありますし。
（ζ(-3)とζ(-5)を示す物理現象についてのHPを見つけたのですが、ζ(-1)については、存在するという記載を読んだだけですが。）
これについても、真偽を判定する能力はないので、単にパラドックスとして楽しんでいるのですが。

回答No.4

alice_44

Z(s) は、そこに書かれた級数を表し、
それを解析拡張した関数が ζ(s)
…という意図ですよね？ どこかで、
リーマンの ζ 関数のことを読んだのですね。

Z(s) が収束するのは、Re(s)＞1 のときだけで、
その範囲では、Z(s) はζ(s) に一致するし、
項別微分可能でもあります。しかし、
あくまで Re(s)＞1 のときの話です。

s=0 のときは、Z'(s) 以前に Z(s) が発散する
ので、微分もヘッタクレもないのです。
ζ'(0)=(-1/2)log(2π) は計算できますが、それが、
存在しない Z'(0) と一致する訳ではありません。

ζ 関数がらみの啓蒙書には、この手の
与太話で素人を惑わす邪悪な著者が多くて、
困ったものです。

お礼

回答ありがとうございます。

当方の姿勢は、No.2様のお礼に書いた通りです。
邪悪な著作でも、当方は専門家でないので、面白がっております。
かなり前に、ζ(2)が理解できてから、色々漁って読んでいるのですが、
∞！を有限にしてしまう話は見たことがなく、食いついてしまいました。
ζ(-1)=-1/12はよくて、こちらが、解析接続とならない理由は、いまのところ、当方にはわかりません。
当方は、そのようなレベルですので、そちらのお気に障ることはあっても、周囲に害毒を流すことはありません。

回答No.3

ramayana

おっとっと。 Z'(0) =　-(1/2)log√(2π) もウソでした。正しくは、Z'(0) =　-(1/2)log(2π) 。

回答No.1

spring135

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

回答ありがとうございます。
教えていただいたHPを見ましたが、どこが、式変形のヒントになるのかわかりませんでした。