数学の質問:放物線と直線の交点と面積について
- 放物線と直線の交点や面積について教えてください。
- 放物線Cと直線lが与えられている場合、Cとlの交点や面積を求める方法を教えてください。
- 具体的な問題として、C:y=ax^2-bx+6とl:y=2x-3の交点や面積を求める方法を教えてください。
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数学の質問です
最後の(3)が解けなくて・・・教えてください。 xy平面上に、放物線C:y=ax^2-bx+6と直線l:y=2x-3がある。C上の点A(3.3)におけるCの接線がlに一致している。 P(0.k)(-3<k<6)を通りlに平行な直線とCの異なる2つの交点Q.Rのx座標を、それぞれα、β(α<β)とする。 (1)a.bの値をそれぞれ求めよ。 (2)kをαを用いて表せ。また、y軸とCおよび線分PQで囲まれる部分の面積S1をαを用いて表せ。 (3)Cと線分QRで囲まれる部分の面積をS2とする。(2)のS1に対してS1:S2=1:2が成り立つようなkの値を求めよ。 私は(1)a=1,b=4 (2)k=α^2-6α+6、 S1=-2/3α^3+3α^2 となりました。 (3)はS2=-2/3α^3+(β+3)α^2-6βα-1/3β^3+3β^2 とだして、 解と係数の関係からα+β=6、αβ=-α^2+6αをだし代入 S2=-2α^3+24α^2-108α+36 S1:S2=1:2から2S1=S2なので・・・・・・と出そうとしていました。 ここから先が解けず困っています。お願いします。
- hunade
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(1) C:y=ax^2-bx+6 y'=2ax-b x=3における接線は y=(6a-b)(x-3)+3 これが l:y=2x-3 に一致することから 6a-b=2,-6+3=-3 ∴b=6a-2 ...(A) またCが点(3,3)を通ることから 3=9a-3b+6 ∴b=3a+1 ...(B) (A),(B)のa,bについての連立方程式を解いて a=1,b=4 ←(答え) >(1) a=1,b=4 合ってます。 (2) C:y=x^2-4x+6 y=2x+k(-3<k<6) x^2-6x+6-k=0 ...(C) x=αはこの解であるから α^2-6α+6-k=0 ∴k=α^2-6α+6 ...(D) ←(答え) S1=∫[0,α](x^2-4x+6-(2x+k)dx,k=α^2-6α+6 =[(1/3)x^3-3x^2+(6-k)x][0,α] =(1/3)α^3-3α^2+(6-k)α これにkを代入すると =-(2/3)α^3+3α^2 ←(答え) >(2)k=α^2-6α+6、S1=-(2/3)α^3+3α^2 で合っています。 (3) S2=∫[α,β] (2x+k-(x^2-4x+6))dx =[-(1/3)x^3+3x^2+(k-6)x][α,β] =(1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β) S1:S2=1:2より 2S1-S2=0 2(-(2/3)α+3)α^2-((1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β))=0 ...(E) α,βは2次方程式(C)の解であるから解と係数の関係から α+β=6,αβ=6-k(α<β) ...(F) (D),(E),(F)を解くと β^3-α^3=(β-α)((α+β)^2-αβ)=(β-α)(k+30) β^2-α^2=(β-α)(α+β)=6(β-α) より k=0,α=3-√3,β=3+√3 (答え) k=0
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- fukuroumine
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αをa,βをbと書きます. S^2 =-2/3 a^3 +(b+3)a^2 -6ab -1/3 b^3 +3b^2 に b=6-a を代入すると, S^2 =-2/3 a^3 +(6-a+3)a^2 -6a(6-a) -1/3 (6-a)^3 +3(6-a)^2 =-2/3 a^3 +9a^2 -a^3 -36a +6a^2 -72 +36a -6a^2 +1/3 a^3 +108-36a +3a^2 =-2/3 a^3 -a^3 +1/3 a^3 +9a^2 +6a^2 -6a^2 +3a^2 -36a +36a -36a -72 +108 =-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36 となります.(ここが,計算違いです.) S1 =-2/3a^3 +3a^2 ですから, 2S1 =S2 により, -4/3a^3 +6a^2 =-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36 よって, 6a^2 -36a +36 =0 a^2 -6a +6 =0 よって, k=a^2 -6a +6 =0
お礼
丁寧な回答ありがとうございました。
- spring135
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>y軸とCおよび線分PQで囲まれる部分の面積S1をαを用いて表せ。 これだけでは閉じた領域にならない。
お礼
回答ありがとうございました。解決しました。
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