一つ一つの重さを計るのと１０ずつまとめて重さを計るのと分布は？

質問

頭がこんがらがっているのですが、次の質問回答ください。

（質問）平均重さ１２０ｇの部品ををユーザーに収めるに際し、変動係数２％以内の管理をするようにと言われています。ところが事情があって一個ずつの重さを計ることができず、たとえば１０個とか、１００個の重さを計ることしかできないとすれば、その場合の変動係数はいくらとすればよいでしょうか。

測定点数にもよると思いますが、まとめて計ると変動係数を厳しく見なければならないような気がしますが。

わかりやすく教えていただければありがたいです。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

１２０ｇの２％とすると，２．４ｇですね．
yumitaka さんも直感的に感じておられるようですが，
１００個まとめて１２ｋｇにして２４０ｇの変動までＯＫでは具合が悪いです．
個数が多くなると変動の正負がうち消す割合が大きくなりますから，
変動係数を厳しく見ないといけません．

簡単にばらつきが正規分布として，
平均値をｍ(＝１２０ｇ)，標準偏差をσとしますと
ｍ± σ に全体の 68.27%
ｍ±2σ に全体の 95.45%
ｍ±3σ に全体の 99.73%
ｍ±4σ に全体の 99.99%
が入ります．
99.73% でＯＫなら 3σ=12g にすればよいわけです．
変動係数は 3σ/ｍ＝ 2% ですね．

さて，同じ正規分布をもつものをＮ個持ってきて(各分布は独立)全体の分布を見ると，
平均値は当然 Nmですが，標準偏差の方は (√N)σ になることが知られています．
つまり，１０個持ってくれば (√10)σ，１００個なら 10σ，
ということです．
したがって，変動係数は
１０個なら 3(√10)σ/10m = 0.632%
１００個なら 3√(100)σ/100m = 0.2%
Ｎ個なら 3σ/√N = 2/√N (%)
です．
経過から分かりますように，３σでＯＫにするのか，４σを要求するのか，
といったことには結果は関係ありません．

ガウス分布でないと多少違いが出ますが，目安はこれでＯＫでしょう．

回答No.2

motsuan

sigmuntさんは母集団の品質を管理するという観点で
かかれていると思いますので、
私はｎ個の平均値から母集団の平均値からある程度ずれてしまったロットは落として、
出荷するものの集団の品質がある変動範囲にすべて収まっている確率が
ある値Qで保証されるための条件という観点から考えて見ました。
（というか変動係数というのがなんなのかとわかっていないので
　適当に考えてみました）
母集団の平均値をあらかじめ調べておいて、
ｎ個のロットの平均値の振るまいは母集団に偏差がσの正規分布ｆσを仮定すると
偏差がσ/n^(1/2)となる正規分布ｆσ/n^(1/2)となります。
いま、一個一個測っていくとすると合格品の割合は平均値m、許容値ｑとすると
　P =∫ｆσ(x)dx (x=m-q～m+qの範囲で積分)
n個ずつのロットに分けて選別したとしても正しい選別が行われているのであれば
n個ずつのロットが検査を通過する確率もP以下でなければなりません
（でなければ選別の仕方で良品の数が増えてしまうことになります）。
ｎ個の平均値は母集団の平均値に近いものほどまともなものを
含んでいる確率が高いと考えられるので、平均値の周りで積分して
　P =∫ｆσ/n^(1/2)(x)dx (x=m-?～m+?の範囲で積分)
となる「？」よりも厳しい基準でなくてはならないという考え方です。
また別の考えとしては、これをもう少し変形して、
良品がｎ個連続しなくてはならないので
　P^n = ∫ｆσ/n^(1/2)(x)dx (x=m-?'～m+?'の範囲で積分)
となる「？'」が求める範囲かなという気もしてきます。
（つまり、不合格率を上手く調整すれば、大体、
　全部調べたときと同じ確率で合格／不合格が決まるのだから、
　n個の平均値を指標に決めるときにも結局同じような
　合格率を与える範囲を設定してやれば良い基準になるのでは？ということです。）
　このとき、n個すべてが良品である確率をもとめれば大体いいせん行っていると思うのですが。

でも、素朴に
　F(μ) = ∫...∫p(x1) ...p(x1) δ（μ-(x1+...+xn)/n) dx1...dxn
(xj =m-q～m+qの範囲で積分 (j=1～n)、pは母集団の確率分布、δはδ関数)
というのを考えて、この確率が品質を保証する確率Qよりも大きくなるようなμが
求める平均値の範囲というのが私の求める正解なのでしょう。
　非常によい製品の母集団であれば、pは十分に急峻ですので、
積分範囲を全域にとっても良い近似となり、さらにガウシアンを仮定すれば
　F(μ) = ｆσ/n^(1/2)(μ)
となります。したがって、この場合には、
　Q < F(μ)
となるμが求めるものになるといったところでしょうか？

前半の考え方のほうがなんか気に入っているんですが
（当然、本来不良ロットとすべきものをカウントしたり、しなかったりしています）、
下のQに相当するものが出てこないし、多分変な考え方なのだと思います。
アドバイスになっていないですね。ごめんなさい！