じゃんけんと確率(数学A)

質問

a、b、cの3人でじゃんけんをします。
一回じゃんけんに負けたら、その時点でその人は退場です。
最後の一人になるまでじゃんけんを繰り返し、残った人が勝者とします。
あいこの場合もじゃんけんを一回行ったものと見なします。

2回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めたいのですが、いまいちわからない点があります。

勝者の決め方は2パターンあります。
(1)1試合目で3人が残って次の試合で1人が勝つ場合。
(2)1試合目で2人が残って次の試合で1人が勝つ場合。

まず(1)について考えます。
1回のじゃんけんで3人が残る確率は、9/27=1/3
1回のじゃんけんで勝者が決まる確率も上と同じです。
これらを掛け合わせて求まります。

次は(2)です。
初戦で2人が勝つ確率は、9/27=1/3
2試合目で2人が違う手を出す確率は、6/9=2/3
これらを掛け合わせて求まります。

最後に、(1)と(2)は背反なので足して答えがでます。1/3です。

私は確率を求めるときは、全事象(分母)はいくつか、求める事象(分子)はいくつか？ということを気にしてしまうのですが、どうもこの問題はいまいち理解できません。
以下が質問です。

私の考え方でいくとまず(1)で9/27×9/27という式から、全事象は27×27だなということを考えるのですが、これはおかしいのではないでしょうか？
この27×27通りには、初戦で試合が終わったのにも関わらず次の試合を行っている場合の数も含まれていますよね？
確率の分母って全部同様に起こりうる事象で構成されていると思うんですが、ゲームのルール上あり得ないことも含まれていることになりおかしいのではと思いました。
このことについて説明がほしいです。

次に、最後に(1)と(2)を足していますが、なぜ足せるのでしょうか？
27×27と27×9じゃ分母が違いますよね？
(1)と(2)で分けて答えを出すべきだと思うんですが・・・。
足すということは通分して分母を揃えるということなので、27×9に3をかけるということです。
でもいきなり全事象の数(分母)が増えるってことはありえませんよね？
すでに27×9の時点で全事象は出ているのにどう増えるというのでしょう。
このことについての説明もほしいです。

以上が質問です。
長文で申し訳ありません・・・。
よろしくお願いします_(._.)_

回答No.2

tsuyoshi2004 · ベストアンサー

仮に、３人（a,b,c）が事前に最初に出す手と二回目に出す手を紙に書いておいたとしましょう。
そうするとその組み合わせは２７×２７＝７２９通りになります。

ただし、その中には１回目で１人が勝ち残って勝負がついてしまう組み合わせが、
９×２７＝２４３通りが含まれています。
この２４３通りは、２回目の組み合わせが何であっても条件には当てはまりません。
残りのうち２４３通りは１回目があいこで３人とも２回目に進み、残りの２４３通りは１人が負けて２人が２回目に進みます。
１回目があいこの２４３通りのうち、２回目で一人が勝つのは８１通りです。
１回目で一人が負ける２４３通りのうち、２回目で１人が勝つのが１６２通りです。
この場合も、１回目で負けていた人が何の手を出すつもりであっても結果には関係ありません。
これらを足して、２回目で一人が勝ち残るのは２４３通りなので、
２回のじゃんけんで１人がかち子乗るのは、２４３／７２９＝１／３
になります。

ということで、全事象から計算しても結果は同じになります。

言い換えると、１回目で一人が勝ってしまうという１／３には、２回目に３人が何を出すつもりであったかという２７通りを全て含んでいます。
しいていえば、１回目で一人が勝って、２回目で一人に決まるのは、
９／２７×０／２７＝０
です。
これに１回目であいこで２回目に１人が勝つ
９／２７×９／２７＝１／９
と、１回目で２人が勝って２回目に１人が勝つ
９／２７×６／９＝６／２７＝２／９
を足して、１／３です。

お礼

具体的で納得できました。
ありがとうございました！

回答No.3

noname#184445

>全員が同じ手・・・3通り
>全員が違う手・・・3!通り

了解です

回答No.1

noname#184445

＞確率の分母って全部同様に起こりうる事象で構成されている

この言い方は少し不正確だが

質問を

あたかも「全事象27×27」のようにして
確率が計算できるのはなぜか？

と捉えて答えてみる

2回目までだけに限定し
ストーリーに忠実に設定すると

「1回目で勝負がつく」という事象には9個の要素があり
それぞれ確率1/27を持つ

「1回目で勝負がつかない」という事象には18*27個の要素があり
それぞれ確率(1/27)(1/27)を持つ

ここで
全事象は9+(18*27)個の要素から成るが
全て等確率というわけではない

だから
この設定で
単に要素の個数を分母・分子に置く
計算法は直接使えないことに
気付いておこう

そこで
1回目で勝負がついた場合でも
2回目の勝負をする
という仮想的な状況を考え（「全事象27×27」）
問題が生じるかどうかを検討する

この場合
「1回目で勝負がつく」という事象には9*27個の要素があり
それぞれ確率(1/27)(1/27)を持つ

が

これらの要素を1回目の結果だけによって
分類すれば9個の事象になり
それぞれ確率1/27を持つ

これら9個の事象を9個の要素と見なせば
最初と全く同じ設定となる

だからこの仮想的な方法により
全事象の要素の個数27*27を分母においても
計算結果は同じである
（樹形図の枝を適当に切って
みれば直観的にも明らか）

だが
このような一致はさておき
とりあえず
質問中にある独立性に基づく
計算は（方針上は）正しいわけで

全事象の個数などに
とらわれる必要は
あまりない

＞27×27と27×9じゃ分母が違いますよね？
＞(1)と(2)で分けて答えを出すべきだと思うんですが・・・。

はじめのポイントで述べたように
事象の最小単位となる要素を「自然に」
定めたとしても

全ての要素が等確率になるとは限らない

よって
事象Aの確率=Aの要素の数/全事象の要素の数
は通用しないこともある

最後に

＞1回のじゃんけんで3人が残る確率は、9/27=1/3

これは違うのでは

お礼

じっくりと読ませていただきました。
なんというか木を見て森を見ていなかったというような思いです。
一つの事に囚われすぎず柔軟に考えていこうと思います。
ためになる解説でした。
ありがとうございました！

最後の文章ですが、3人が残っているという状況を考えると、3人が残るには3人があいこになればよいので、そのパターンは
全員が同じ手・・・3通り
全員が違う手・・・3!通り
これらを足して9通りがあると判り、確率は9/27

という計算で考えました。