球 表面積 体積 関係

質問

こんにちは。

現在、IＡIIＢの範囲を復習していて気がついたことがあります。
球の体積Ｖ＝4/3πｒ^3
球の表面積Ｓ＝4πｒ^2
ですが、これは球の体積を微分したら球の表面積になりますよね。

数学に苦手意識をもっており、今もあまり好きな教科ではないのですが、相互関係などを理解していけば好きになっていけるかなと考えています。
物理も微分積分を使用したら楽しいなどとも聞きますので。

この球の体積と表面積の関係を式と理屈を合わせて教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan

#3 を言い換えると
半径 r の球体の表面に一様に厚さ dr で粘土を盛ると半径 r+dr の球体ができる
ってことですな. つまり
表面に一様に厚さ dr で粘土を盛ったときに「相似な立体」ができるかどうか
というのが問題で, 直方体でうまくいかないのも「相似な立体」ができないことによります.

逆に言えば相似な立体ができるならいいわけで, 例えば立方体で「立方体の中心から各面の中心までの距離」を r とおくと同様に
dV/dr = S (ただし V は体積, S は表面積)
となります.

そして 1つ次元を落としても同じようなことが言えるという....

お礼

相似な立体に対する考え方なのですか。
使えるバリエーションが他にもあるのですね。

三次式(体積)を微分すると二次式(表面積)になった理屈はわかりました。

四次式、五次式(あまりみませんが…)を微分するとどうなるのですかね。
興味が湧いてきました。

回答No.4

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 補足です。

球の場合、球というのは、実は微細な錐体の集合と見なせるというのがこの場合の鍵になります。

・中心を通り直線で半分に切る。
・さらに中心を通り直線で半分に切る
・さらに……
と続けると、小さな錐体の合計になります。
（これは、円の面積を、小さな扇形の合計、さらには、三角形の合計の極限として考えられるのと同じです）

そこで、一般的な話としては、体積を微分したら表面積になるのではなくて、体積を高さ方向で微分したら「底面積」になるということになります。

これを立方体展開すると、なので、「体積を高さ方向に微分すると、底面積になる」という表現になります。

なので、No.1の

> 体積を（適切な何か）で微分すると表面積になり、表面積を（適切な何か）で積分すると体積になります。

は適切ではないです。（体積を高さ方向に微分すると底面積になる）ということですね。

回答No.3

alice_44

訂正：

半径がわずかに異なる二つの球の体積の差が、
球面積×(半径の差)で近似できる という
球固有の事情

失礼しました。

回答No.2

alice_44

三辺が ar, br, cr の直方体は、体積が abcr^3 で、
体積を拡大率 r で微分すると 3abcr^2 です。
表面積は 2(ab+bc+ca)r^2 で、これと一致しません。

球の場合に、体積を拡大率で微分すると表面積になるのは、
球面が接平面で非常によく近似できて、厚さがどこでも一様…
半径がわずかに異なる二つの球の体積の差が、球面積×半径
で近似できる という、球固有の事情によります。

一般に成り立つ話では、ないんです。

体積は、長さ^3 の次元を持つので、何らかの長さで微分すると、
微分係数は 長さ^2 の次元を持つ…何らかの面積を表している
とは言えると思います。それだけです。

お礼

球の独特の事情によるものなのですね。
ちらっと見ただけなので理解はできていないのですが、バームクーヘンの問題のようなものでしょうか。

家に桃があったので、実際に球を見ながら考えたいと思います。
ご解答ありがとうございました。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

微分という領域（微小変化を扱う領域）では、体積は、高さ×底面積になります。（で近似できます）
（高さの範囲で底面積が変化しない、円柱とかなら、どの範囲でも正しいです）

で、ある球があって、その半径が、h （小さな値）だけ増えると、体積は、h×底面積 に相当する、h × 球の表面積だけ増えることになります。

言い換えると、「球の体積は半径が微少量 h 増えると、 h × 表面積 の分だけ増加する」と言うことになります。
これを、さらに言い換えると、「球の体積を半径で微分すると表面積になる」ということなのです。

また、逆に言えば、球を半径方向に（タマネギのイメージで）多層に区切ってみます。
半径方向に、厚さ h で分解したとすると、それぞれの薄い層の部分の体積は、 h × 内側の表面積 と h × 外側の表面積 の間になります。
この状態で、分割する厚さ h を 0 に近づけると、球の体積は 細切れの「タマネギの皮」の部分の表面積を、r で積分したものになります。
つまり、表面積を r で積分すると体積になります。

以上の議論は、球でなくても適用できますので、一般に、

体積を（適切な何か）で微分すると表面積になり、表面積を（適切な何か）で積分すると体積になります。

たとえば、辺の長さが、 a, b, c の直方体の底面積は（a,b が底面の縦と横だとすると） ab, 体積は abc です。
これは、底面積 ab を、 高さ方向に h = 0 から h = c まで積分したものとして計算すると、体積が abc になります。

お礼

球に限った考え方ではないのですね。
微分積分は何をしたいのか理解が曖昧だったのですが、少し分かりました。
ありがとうございました。