高1の数Aの問題です。

質問

数学の補習でわからないところがあったので、質問させていただきました。

問題：5個の数字0、1、2、3、4を使って作った、各位の数字がすべて異なる5桁の整数について、こ
　　　れらの数を小さいものから順に並べたとする。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとする
　　　(1)43210は何番目になるか。
　　　(2)90番目の数は何か。
　　　(3)30142は何番目になるか。
　　　(4)70番目の数は何か。

答えは、(1)96番目(2)42310(3)50番目(4)34120なんですが、なぜこの答えになるのかがわかりません

回答お願いします。

回答No.1

mamoru1220 · ベストアンサー

（1）43210は5個を並べてできる最大値です。（数字が大きい順に並んでいるから）
よって、最後になるので、できる数の総数を求めれば良いです。

万の桁は4以外の4通り、千の桁は4通り、以下3通り、2通り、1通り
∴4×4×3×2×1 = 96通りなので、96番目

（2）90番目なので、最大値から1個ずつ下がっていけば良いです。
43210
43201
43120
43102
43021
43012
42310←90番目です。

（3）万の桁が1の数が4×3×2×1 = 24個
万の桁が2の数が4×3×2×1 = 24個

よって、万の桁が3の数は49番目から始まります。
30124
30142←50番目です。

（4）上記（3）より、万の桁が3の最大値が24×3 = 72番目です。
最大値から1個ずつ下がっていけばよいです。
34210
34201
34120←70番目です。

お礼

簡潔でとてもわかりやすかったです！
解いててたのしかったです(笑)
回答ありがとうございました‼

回答No.2

srafp

５桁の整数と言うことは、１桁目に「０」は使えない。
左から１桁目が「１」の時、2桁目が「０」の組み合わせは下のように6通り
　１　０　２　３　４
　１　０　２　４　３
　１　０　３　２　４
　１　０　３　４　２
　１　０　４　２　３
　１　０　４　３　２
これは、（左から）1桁目に使える数字は『１つ』（「１」）、2桁目に使える数字は『１つ』（「０」）、3桁目に使える数字は『３つ』（「２」「３」「４」）、4桁目に使える数字は『２つ』（3桁目の残り）、5桁目に使える数字は『１つ』（残り）と言うことなので、　１×１×３×２×１＝６通り　と計算でも出せる。
では、左から１桁目が「１」の時、2桁目が「０」～「４」（「１」は使えない！）の組み合わせは？
　１×４×３×２×１＝２４通り

と言うことは、
　１桁目が「２」で始まるのは１＋２４＝２５番目から
　１桁目が「３」で始まるのは２５＋２４＝４９番目から
　１桁目が「４」で始まるのは４９＋２４＝７３番目から

そして、最初に上２桁を固定した場合の組み合わせは６通りだったから
例えば、１桁目が「２」で始まる時
　２桁目が「０」が来るのは、２５番目～３０番目
　２桁目が「１」が来るのは、３１番目～３６番目
　２桁目が「３」が来るのは、３７番目～４２番目
　２桁目が「４」が来るのは、４３番目～４８番目

ここまでが基本情報

以降、数Ａレベルに達しない下手な説明を書きます。

> (1)43210は何番目になるか。
「4」が１桁目に来るのは７３番目からである。
２桁目に「３」が来ると言うことは、既に「０」「１」「２」が２桁目に使われているから、２桁目が「３」で始まるのは９１番目
　７３＋６＋６＋６
　※因みに２桁目が３で始まる最も小さな値（＝９１番目）は
　　『４３０１２』
３桁目に「２」が来ると言うことは、既に「０」と「１」が使われていると言うことであり、夫々の組み合わせは２×１＝２通り　なので、３桁目が「２」で始まるのは　９１＋２＋２＝９５番目　であり、この時の数字の組み合わせは『４３２０１』
そして、その次に大きな数字の組み合わせである９６番目は『４３２１０』
よって、答えは９６番目

> (2)90番目の数は何か。
上記（１）に書いた答えの導き方の中に９１番目の数値を書いてしまったので・・・
９１番目は『４』『３』で始まる最も小さな値である『４３０１２』
と言うことは、９０番目は『４』『２』で始まる最も大きな値である。
使える数字を大きい順に並べれば「３」「１」「０」となるから、
答えは４２３１０

> (3)30142は何番目になるか。
（１）の時と同じ考え方から・・・というか、最初に書いた基本情報から『３』『０』から始まるのは４９番目であり、同時に残った数字の中で一番小さな値が「１」であることから『３』『０』『１』から始まるのも４９番目
で、残った数字を小さい順に並べた『３０１２４』が４９番目
そして、その次に大きな数字の組み合わせである５０番目は『３０１４２』
よって、答えは５０番目

> (4)70番目の数は何か。
最初に書いた基本情報から７３番目は『４』から始まる数値。
では、「３」「４」で始まる組み合せは何番目から始まるのか？基本情報から「６通り」と判っているから、７３－６＝６７番目であり、使える数値から考えて６７番目は『３４０１２』。
（１）の所で書いたが、３桁目は「２通り」なので６９番目の３桁目は「１」であり、残った数字を小さい順に並べると『３４１０２』
よって、７０番目は『３４１２０』

お礼

全然下手な説明じゃないですよ！
とても丁寧に教えてくださり、感謝しています＾＾
本当にありがとうございました。