直線上と平面上の射影変換について

質問

大学の数学の課題でわかりません。困ってます。

問題１：直線上の射影変換 f:R＼｛a｝→R＼｛b｝で
f(0)=3 , f(1)=5 , f(2)=4

をみたすものを求め、a,bを求めよ。

問題２：平面上の射影変換

f(x,y)=(x+y+1/2x+y-1,x-y+1/2x+y-1)
g(x,y)=(x+2y+1/x-y-1,x-2y+2/x-y-1)

に対し、
（1)合成g○ｆ（x,y）を求めよ
（2）fの逆f^-1(x,y)を求めよ

答えと解法をお願いします。
あと、 f:R＼｛a｝→R＼｛b｝の意味がわかりません。
このバックスラッシュはどういうう意味なんですか？

回答No.2

muturajcp

1:直線上の射影変換f:R-{a}→R-{b}
を
f(x)=c(x-b)/(x-a)
とすると
f(0)=cb/a=3
f(1)=c(1-b)/(1-a)=5
f(2)=c(2-b)/(2-a)=4
この連立方程式を解くと
c=11/3
∴
a=2/3
b=6/11

2:
平面上の射影変換
f(x,y)=((x+y+1)/(2x+y-1),(x-y+1)/(2x+y-1))
f(x,y,1)=
(1, 1,1)(x)
(1,-1,1)(y)
(2,1,-1)(1)

g(x,y)=((x+2y+1)/(x-y-1),(x-2y+2)/(x-y-1))
g(x,y,1)=
(1, 2, 1)(x)
(1,-2, 2)(y)
(1,-1,-1)(1)
とする
(1)
g○f(x,y,1)
=
(1, 2, 1)(1, 1,1)(x)
(1,-2, 2)(1,-1,1)(y)
(1,-1,-1)(2,1,-1)(1)
=
( 5,0,2)(x)
(3,5,-3)(y)
(-2,1,1)(1)

g○f(x,y)=((5x+2)/(-2x+y+1),(3x+5y-3)/(-2x+y+1))

(2)
f^{-1}(x,y,1)=
(1, 1,1)^{-1}(x)
(1,-1,1).....(y)
(2,1,-1).....(1)
=
(0 ,2,2)(x)
(3,-3,0)(y)
(3,1,-2)(1)

f^{-1}(x,y)=((2y+2)/(3x+y-2),(3x-3y)/(3x+y-2))

回答No.1

stomachman

> f:R＼｛a｝→R＼｛b｝の意味がわかりません。

A＼B は「集合のひきざん」です。A-Bとも書く。放置プレイされているのは、「射影変換って何なのか」をちょこっとでも調べさえすれば、あとはチョー簡単だからでしょ。