偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x∂y)=0

質問

※先週、質問させていただいた
「偏微分方程式 (∂^2 u)/(∂x^2)=0」
http://okwave.jp/qa/q8102140.html
に関連した質問です。

u を x と y の関数として、次の偏微分方程式の解 u(x,y) の形を求めよ。

(∂^2 u)/(∂x∂y)=0

模範解答
(∂/∂x)(∂u/∂y)=0 であるから、

　　　　　∂u/∂y = φ(y)
　　　　　(φ(y)はyの任意の関数)

である。したがって、

　　　　　u = ∫φ(y)dy + θ(x)
　　　　　　= φ_1(y) + θ(x)
　　　　　(θ(x), φ_1(y)はそれぞれxおよびyの任意の関数)

となる。

・・・と本に書いてあります。

最初の(∂/∂x)(∂u/∂y)=0は自分でも出来ました。
でも、なぜ ∂u/∂y = 「φ(y)」になるのか分かりません。
てっきり、∂u/∂y = 「φ(x)」になるのかな、と思っていました。
というのも、前回の質問にも載せた、本からの抜粋によると：

例）　次の偏微分方程式を満たすu(x,y)の形を求めよう。

(1) ∂u/∂x = 0

xに対する偏微分が0であるから、uはxを含まない関数、すなわちuはyだけの関数である。φ(y)をyの任意の関数として

　　　　　u = φ(y)

である。
yの任意の関数φ(y)をxで偏微分しても結果は0であるため、φ(y)は1階の常微分方程式の解に含まれる任意定数に対応している。

・・・でしたから、今回の場合、
「yに対する偏微分が0であるから、uは『y』を含まない関数、すなわちuは『x』だけの関数である。φ(x)をxの任意の関数として

　　　　　u = φ(x)

である。」になると思っていました。なぜ、こうならないのですか？
（そして、後半では突然θ(x)が出てきて、こっちはxの任意の関数のようですね・・・。）
混乱しています。分かる方、どうか説明して下さい。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 最初の(∂/∂x)(∂u/∂y)=0は自分でも出来ました。
> でも、なぜ ∂u/∂y = 「φ(y)」になるのか分かりません。

(∂/∂x)(∂u/∂y)=0
を言い換えると
(∂/∂x)(なんとか)=0
だから(なんとか)のxに対する偏微分が0である。だから(なんとか)はyだけの関数である。
でしょ。本に書いてあるとおりですね。

お礼

理解できました！
(なんとか)の部分がなんであろうとxに対する偏微分が0なので(なんとか)はyだけの関数、ということですね。
私の脳内での内側と外側の順番が逆でした。
この後半についてはまた質問するかもです…。
ありがとうございました！

回答No.2

Knotopolog

質問者さんは，勘違いされています．
与式：(∂^2 u)/(∂x∂y)＝0 と，例題の(1)式： ∂u/∂x ＝0 を混同し考えているのが間違いです．

(∂^2 u)/(∂x∂y)＝0 の u と，(1)式： ∂u/∂x ＝0 の u は同じではなく，全く別の関数です．

ですから，考え方としては，(∂^2 u)/(∂x∂y)＝0 に対して，

∂u/∂x ＝ f(x)　・・・・・ f(x)は任意関数

から解き始めても

∂u/∂y ＝ g(y)　・・・・・ g(y)は任意関数

から解き始めても，どちらでもいいのです．

お礼

回答くださってたんですね。
画面をリフレッシュするのを忘れていました、すみません。
私も(∂/∂x)(∂u/∂y)=0 にしようか (∂/∂y)(∂u/∂x)=0 にしようか迷っていました。どっちにしても解けなかったので質問しました。(^_^;)
この質問は閉じてしまいましたが、この後半の答えが私の場合だとu = yφ(y) + θ(x)になってしまうんですよね…次の質問を立ち上げ中です…。
ありがとうございました。