三角関数の定積分の問題を解く方法を教えてください
- F（a）=インテグラ［0→π/２］｜sin x - acos x | dx を最小にするaの値を求めよ。
- 解法の一つは、絶対値の中身を≧０と＜０で場合分けし、それぞれの範囲で定積分を求めることです。
- 具体的な解き方を詳しく解説していただける方がいましたら、教えていただけると助かります。
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三角関数の定積分の問題教えて下さい。
答えがない問題なので教えて下さい。 F（a）=インテグラ［0→π/２］｜sin x - acos x | dx を最小にするaの値を求めよ。 もう10年以上前のことなのでやり方を忘れました。 自分で考えた解き方は絶対値の中を ≧０と ＜０で場合分けして sin x - acos x ≧0の時 F(a)=インテグラ［０→π/2］（sin x-acos x）dx =[-cos x - asin x] 0→π/2 = -cos (π/2) - asin (π/2) - (-cos 0 - asin 0 ) こんな感じで解いていけばいいのでしょうか？ わかる方教えて下さい。よろしくお願いします。 なおパソコンでの書き方がよくわからず、すみません。
- hanasaka
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a<=0のとき sinx-acosx を０からπ/2まで積分して 1-a・・・ここは単調減少 a>0のとき tanα=aとして acosx-sinxを０からαまで積分，sinx-acosｘをαからπ/2まで積分して加えると 2asinα＋２cosα-a-1 となります。 この式はa=tanα，1/cosα=√1+(tanα)^2=√1+a^2を使うと F=2√(1+a^2) -a-1 となるのでaで微分して増減をしらべる。 F'={2a-√(1+a^2)}/√(1+a^2) F'=0となるのはa=1/√3のときです。 計算は合っていると思いますが，ご自分で確かめて下さい。
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お礼
回答ありがとうございます。 0→α、α→π/2。そういえばこういう解き方ありましたね。すっかり忘れてました。助かりました。