偏差値について

質問

偏差値とは何なんです。
どうやって求めるんですか。知っている方がいらっしゃいましたら、教えてください。お願いします。

回答No.6

mickel131 · ベストアンサー

平均点が70点のときに80点とるのと、平均点が50点のときに80点とるのでは、同じ80点でもその価値が違うでしょう？
平均点が50点なのに、80点とったということは、平均点より30点も上の点がとれている、この方が、平均点が70点のときにとった80点よりすごいでしょう？
平均点は、このようにテストどうしの比較をするための基準のひとつになっているわけですね。

次に、平均点以外にもう1つ別の観点があります。
今度は、テストをしたとき、英語も数学も、平均点がどちらも同じ55点だったとします。
　ところが、英語は20人のクラスの中で、18人が、50点台の点でした。それに対し、数学は、4人だけが
50点台で、60点代も70点台も40点台も30点台も、4人すついました。あなたは、英語で、70点とり、友達に話したら、友達は、自分も数学で同じく70点とった、と言いました。どちらがいい点だと思いますか？
同じ70点でも違うのです。

英語は、20人のうち18人が50点台、ということは、ほとんどの人が、60点を超える点はとっていません。
それに対し、数学は60点以上の人が8人いるわけです。
どちらが希少価値か、と考えると、数学の70点は、70点以上の人が4人いる、それに対し、英語の70点を超える点をとった人の数は、多くて2人、もしかすると、1人、つまり、あなただけかもしれません。もちろん、あなたのとった英語の70点の方が、価値が高い、ということです。だから、たとえ、平均点が同じでも、集団の点数の散らばり具合によって、同じ点数のテスト結果も価値が違ってくる、ということです。

そこで、２つのテストの試験結果（点数）を比較するために、考え出された基準が偏差値です。
偏差値は、平均点と同じ得点をしたら、偏差値が５０となるように決められた基準で、
平均点より高い得点なら、偏差値は５０より高い値、平均点より低い得点なら、偏差値は５０より低い値が付くように考えられています。

もう少し、詳しくお話ししましょう。
集団の点数の散らばり具合を測る基準として、標準偏差というものが考え出されました。散らばり具合が大きければ、この標準偏差というものは大きい値になるのです。
逆に散らばり具合が小さければ、標準偏差は小さくなります。

平均点＋標準偏差　の点数を得点した人の偏差値は６０、
平均点＋標準偏差*２　の点数を得点した人の偏差値は７０、
平均点＋標準偏差*３の点数を得点した人の偏差値は８０、
平均点 -標準偏差　の点数を得点した人の偏差値は４０、
平均点-標準偏差*２　の点数を得点した人の偏差値は３０、
平均点-標準偏差*３の点数を得点した人の偏差値は２０、
になるように偏差値という数値は決められる、ということを知ると、偏差値に対する理解が深まります。

次に、標準偏差の求め方をお話しします。

話を簡単にするために、生徒数を５人にして、
得点を、２点、５点、６点、７点、１０点、とします。
合計点は、Ｇ＝２＋５＋６＋７＋１０＝３０点
平均点は、Ｈ＝Ｇ/５＝６点
ですね。
ここで、一人一人の平均点との差を考えます。
平均より良い点と悪い点を区別したいですから、
それぞれの生徒のとった点数から平均点を引き算します。
(1)２－６＝－４点　（マイナスのついたこの人は平均点より点数が４点低いわけです。平均点との隔たりが４点で、しかも、平均点よりも低い点数ということになりますね。）
(2)５－６＝－１点
(3)６－６＝０　点（０になったこの人は平均点と同じ点数だということです。）
(4)７－６＝　１点　（プラス１のこの人は平均点より１点高いわけです。
平均点との隔たりが１点で、しかも、平均点より高い点数です。）
(5)１０－６＝４点

この点によって、平均点との隔たりがわかりますね。
そこで、この値を、集団の点数の平均点との隔たりを表す数値と考え、この値の平均をとってみましょう。
合計して人数で割りますよ。
｛（－４）＋（－１）＋０＋１＋４｝/5
でいいですね？
ところが、これを計算して見ると、括弧の中の足し算は０になって消えてしまいます。

５人の点数を変えて、別の例で同じことをやっても、０になってしまいます。ぜひやってみてください。
０になります。それは平均より上の点と平均より下の点が打ち消しあって０になってしまうのです。

(1)～(5)の数値（「隔たり値」ということにします）は、平均からの隔たりを確かに表していて、集団の点数の散らばり具合を測る基準として、最適だと思われたのに、０になって使えない、というのではもったいないことですね。

０にならない方法はないかなあ？
なんで、０になったのか？
プラスとマイナスが打ち消しあったからだ。
打ち消しあわないように、全部プラスにすればいいじゃないか。つまり絶対値か？でも絶対値というものは、プラスかマイナスかいちいち調べて変換するのはめんどうだな。１つ１つのデータを見て、得点が平均値より大きければ、隔たり値はそのままにして、
平均値より小さければ、隔たり値は-１倍する、こんな一々判断するのは面倒だ。
待てよ。マイナスの数値をプラスに変えるもう1つのやり方は２乗することだったなぁ。
コンピュータなら２乗なんて簡単にやってくれるはず。
そうだ！
(1)～(5)を２乗して、プラスに変える。それを平均したものを、集団の点数の散らばり具合を測る基準として使ったらいいじゃないか！！
やってみよう。
(1)を２乗する---(-4)*(-4)= 16
(2)を２乗する---(-1)*(-1)= 1
(3)を２乗する--- 0 * 0 = 0
(4)を２乗する--- 1 * 1 = 1
(5)を２乗する--- 4 * 4 = 16
合計して、（16+1+0+1+16) =34
これを平均して　34 / 5 = 6.8

この値は、集団の得点が平均点から隔たっていればいるほど、大きくなります。
この値を「分散」と呼びます。
この値自身を偏差値の計算に使ってもいいのですが、
この値にはひとつ問題点があります。
それは、値が大きくなりすぎることです。
さっきのテストは、10点満点のテストです。それで、
6.8は値が大き過ぎるのです。
この大きくなりすぎた原因は２乗をしたためですから、元のサイズに戻すには、２乗の反対の計算（ルート）をしてやればいい。コンピュータはルートだって簡単にやってくれますから。
この6.8をルートしてみましょう。
√（6.8)＝2.60768・・・
この値を6.8の代わりに、集団の点数の散らばり具合を測る基準に使います。
この数値こそ、標準偏差　と呼ばれているものなのです。

平均点＋標準偏差＝6 +2.6 =8.6 点
ですから、8.6点　得点した人の偏差値は６０になるわけです。
実際は、１０点満点のテストだったので、そんな得点の人は存在していませんが、１００点満点にして８６点なら偏差値６０、と読みかえてみれば、わかりやすくなるでしょう。

平均点 - 標準偏差＝6 -2.6 =3.4
ですから、得点　3.4 点なら、偏差値は４０となります。

少人数で、いろんなサンプルを作って、計算して見ると、感覚がつかめます。
時間をかけてやってみてください。

偏差値を標準偏差を使って算出する公式は、他の方が書かれていますので、ここでは省略いたします。

お礼

回答ありがとうございます。
詳しくご説明していただき、参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#7361

偏差値は『（素点－平均点）／標準偏差×10＋50』で求めることが出来ます。標本集団（たとえばテストを受けた人数）が十分に大きければ、偏差値40～60の間に約68％の人が入ると仮定できます。また、30～40と60～70を合わせたとき、約26％が入ると仮定できます。そして、残りの6％が30以下と70以上に入ると仮定できます。「十分な大きさって何？」とか聞かないでください。私もよく知りません。「なぜ割合が仮定できるの？」とかも聞かないでください。うまく説明する自信もありませんし、説明するために必要な知識の中で私もよく知らないことも含まれています。統計学の講義で習いました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

matherlake

求め方のＵＲＬと大学合格偏差値のＵＲＬを紹介します。
統計学的には、物事のすべてに偏差値をあてはめることができるそうです。目安としては

６３以上が全体の約1割(４０人クラスで４番まで）
５６以上が全体の３割（４０人クラスで１２番まで）
５０以上は全体の５割ということになります

参考URL：

http://d.hatena.ne.jp/keyword/%CA%D0%BA%B9%C3%CD,http://www.yozemi.ac.jp/bunpu/kokkoritsu/

お礼

ありがとうございます。
URL参考にさせていただきます。

回答No.3

keyguy

1億人がテストを受けて
0.5億人-1人が51点
0.5億人-1人が49点
1人が100点
1人が0点
とすると
標準偏差がほぼ1であるから
100点の人の偏差値はほぼ550で
0点の人の偏差値はほぼ-450です

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

keyguy

サンプル値の偏差値=
(サンプル値-平均値)/標準偏差x10+50
です

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

cliomaxi

うろ覚えですが・・・
確か、全体の平均点を出して、そこが「50」で基準となります。
で、25から75までの間を等分します。
ですから、オール0点でも偏差値は「25」逆にオール100点でも「75」になります。
中学の頃に（20年以上前）に習ったのはこんな感じだったと思うんですけど。

お礼

ありがとうございます。