関数の収束問題と極限値の求め方

このQ&Aのポイント
  • 関数 f(x) = √(ax+1)-3/(x-2) の極限値を求めるために、定数aの値を定める必要があります。
  • 分子と分母に√(ax+1)+3をかけることで、分母を有利化することができます。
  • 解法の理解に困っているので、答えだけでなく、解き方も教えていただけると助かります。
回答を見る
  • ベストアンサー

数III極限(基礎)の質問です。

いつもお世話になりありがとうございます。お手数をおかけしますが、今回も宜しくお願い致します。 数III極限(基礎)の質問です。 「関数 f(x) = √(ax+1)-3/(x-2) がx→2のとき収束するように、定数aの値を定めよ。また、そのときの極限値を求めよ。」です。 分母と分子に√(ax+1)+3をかけて、分母の有利化をすると、(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3) となるので、(x-2)を消すために、a=1と解答したのですが、正解は違っていて、困っています。 (言いたいことがうまくお伝えできていなかったらすみません。。。) 解法の理解で困っているので、答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。 お手数をおかけしてすみません。 宜しくお願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

回答者に問題の式が正しく伝わるように、書き方に注意して下さい。 >f(x) = √(ax+1)-3/(x-2) これは  f(x) = [{√(ax+1)}-3]/(x-2) の意味ですか? そうであれば、 >分母と分子に√(ax+1)+3をかけて、分母の有利化をすると、(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3) となるので、 分子の有理化では? 分子と分母に掛ける式は「(√(ax+1))+3」 ですか? 3がルートの中か外か、明確に書きましょう。 掛ける式が(√(ax+1))+3」であれば 有理化した式が間違っています。 なぜ基本的な計算の間違いをして気がつかないのだろうね? f(x)=…≠(ax-2)/(x-2)(√(ax+1)+3) ← 間違い!? f(x)=…={(ax+1)-3^2)/{(x-2)((√(ax+1))+3)} =(ax-8)/{(x-2)((√(ax+1))+3)} この式がx→2の時収束する為には  lim(x→2)(ax-8)=0 でなければいけないから  2a-8=0 つまり a=4 >(x-2)を消すために、a=1と解答したのですが、 つまり↑は間違い!! a=4の時,収束を調べると f(x)=(4x-8)/{(x-2)((√(4x+1))+3)} =4/((√(4x+1))+3) →4/((√9)+3)=4/6=2/3 (x→2) となって確かに収束します。

juken-sitsumon
質問者

お礼

info22_様の回答を見て、もう一度解きなおしたら正解にたどり着きました。くだらない質問で申し訳ありません。 また、数式に関しても明確でなく、申し訳ありませんでした。PCで数式を打つ機会があまりないもので、問題集に書いてある通りに…と思って書き込んでみたのですが、ちゃんと決まりがあるのですね。すみませんでした。 ご回答どうもありがとうございました。本当に助かりました。

関連するQ&A

  • 極限

    たびたびすいません。もう1つ聞きたいことがあります 注(ax+bは√の中には入ってません) lim{√(2x^2-3x+4)-(ax+b)}=0 x→∞ となるような定数a、bの値で √(2x^2-3x+4) x√{(2-(3/x)+(4/x^2)}と変形できたので、収束するためにはa>0が1つの条件になるのですが、 分子を有利化すると、 {(2x^2-3x+4)-(ax+b)^2} ---------------------- {√(2x^2-3x+4)+(ax+b)} となるんですが、ここでひとつ疑問に思いまして、 a>0の範囲だと、分母は0に収束できず、分子は-ax^2-2axより、a>0で0に収束する条件を満たします 分子と分母がそれぞれ0に収束するとき極限値を持つと習ったのですが、よく分かりません。お願いいたします

  • 数学(iii)の極限について

    数学(iii)の極限について 教科書の極限を予習しているのですが、よく分からないところがありました。 例題で次の定数a , b を求めよ。という問題です。 問題がみにくくてすみません。分数の場合 lim は全部に = の前まで全てにかかっていると考えてください。できるだけ、縦でそろえていますが・・ lim  a√x + b x→1 -------- = 2      x - 1 という問題で、考え方として、 x→1のとき(分母)→0であるから、与えられた極限値が存在するためには、x→1のとき(分子)→0でなければならない。 とあり、次に解き方が書いてあります。 lim  a√x + b x→1 -------- = 2      x - 1 において、lim(x - 1) = 0 であるから ・・・・・・・・・・・(1)       x→1 lim(a√x + b) = 0 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2) x→1 とありますが、ここが全く分かりません。どうして、(1)だから(2)なのでしょうか? ですから、上の示した考え方のところから全く分かりません。 できるだけわかりやすく教えてくださるとありがたいです。 よろしくお願いします。

  • 数III極限(基礎)の質問です。#2

    いつもお世話になりありがとうございます。数III極限の質問#2です。 お手数をおかけしますが、宜しくお願い致します。 極限値を求める計算問題です。 「次の極限値を求めよ。   lim (1-cos(x))/x   x→0          」です。 答えだけでなく、解き方も載せてくださると幸いです。 宜しくお願い致します。

  • 極限の質問

    3x+4/(x+2)^2のx→-2のときの極限はー∞とあったんですが、よくわかりません。 解説 極限を出すだけであれば, lim[x→-2](3x+4)=-2 lim[x→-2](x+2)^2=+0 よって lim[x→-2](3x+4)/(x+2)^2=-∞ となります。 分子が-2で,分母がプラス側から0に収束するので,-∞となります。 教えてほしいところ 分子が-2で,分母がプラス側から0に収束するとー∞になるらしいんですが、理解できません。 誰かわかりやすく考えた方を省略せずに教えて下さい。

  • 関数の極限

    lim[x→∞]{√(x^2+x+1)-ax-b}=0 が成り立つためのa,bに関する条件を求めよ。 自分なりに考えたのが、 分子分母に √(x^2+x+1)+ax+b を掛けて lim[x→∞]{(x^2+x+1)-(ax+b)^2}/{√(x^2+x+1)+ax+b}=0 となり、分子をなんかしらの定数に収束するば、 0に収束するのではないのかなと考えました。 計算していくと分子が (1-a^2)x^2+(1-2ab)x+1-b^2 となったので 1-a^2=0 1-2ab=0 で計算して a=1 b=1/2 a=-1 b=-1/2 とでたのですが はたしてやり方があっているのかどうか自信がありません。 どなたか教えてください。

  • 数III極限値(基礎)の質問です。

    いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。 数IIIの極限値の問題です。 「極限値 lim n[(1/n)+ {1/(n+1)^2} + {1/(n+2)^2} + ……… + {1/(2n-1)^2}] (n→∞です) を求めよ。」です。 解き方が思いつかず困っています。 答えだけでなく、解法も載せてくださると幸いです。 いつもお手数をおかけして申し訳ありません。 宜しくお願い致します。

  • 数III関数の極限 の分野で2つ質問があります

    (1)方程式中のlimの式に含まれている定数a,bの値を求める問題(例えば、lim[x→-1]x^2+ax+b/x+1=-5)についてです。 a,bを求める過程は分かるんですが、その求めたa,bを元の式に代入して十分性を確認する必要はないのでしょうか?私が使っている問題集の模範解答にはそのような十分性を確かめる記述がなく、疑問に思いました。 (2)lim[x→∞]1/(√2x-1)-√xの値を求める問題についてです。模範解答では分母の有理化をしてから分子分母をxで割って答えを出していますが、この問題に関しては有理化をしなくても最初の式の分子分母を√xで割れば答えはでますよね?わざわざ有理化をする必要はあるのでしょうか? 以上長くなりましたが、数学に詳しい方ご解答よろしくお願いします。

  • 極限値と不定形

    こんにちは。高校数学2の極限に関する質問です。 参考書の問題です。 Q:次の等式が成り立つように、定数a,bの値を求めよ。   lim{(x^2+ax+b)/(x-2)} =5   x→2 A:x→2のとき 分母→0   極限をもつためには、分子→0でなければならない。   …   この問題は4+2a+b=0とし、b=-2aー4と仮定し、   lim{(x^2+ax+b)/(x-2)} =lim(x+a+2)=5    x→2              x→2  とし、2+a+2=5とし、a=1、b=-6 を求めます。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー x→2のとき 分母→0   極限をもつためには、分子→0でなければならない。  ここで質問ですが、↑不定形の問題ということですがなぜでしょう(?) よろしくお願いします。

  • 極限値の問題

    lim(x→1){(x^2+ax+b)/(x-1)}=3を満たす定数a,bを求めよ という問題なんですが lim(x→1)(x-1)=0であるから lim(x→1)(x^2+ax+b)=0 解答にはこのように始まっているのですが この命題の解釈を 「xは1になるのでそれだと分母が0になってしまい、0での除法は数学的にありえないので 分子も0になるしかない」 とこんな感じに僕なりにしてみたんですがあっているでしょうか? それと 微分の問題をある程度やっていて、それなりに解けるようになってきたんですが 未だに極限値というのが微妙な理解です、テキストを読んでも難しい言葉で書かれており、何がなにやらというのが本音です。 今僕が考えている極限値というのは、3次関数のグラフを書いた時に出来る山のような曲線というちょっとわけのわからない理解なんですが 極限値とはなんなのかという簡単な解説をよろしくお願いします。

  • 極限値について

    極限値について教えてください。 1、f(x)=1/xの極限値は存在しますか? 2、lim ax^2+bx/x-3 =12 が成り立つとき、a、bの値を求めよ。   x→3  という問題において、どうして「x→3のとき、分母が0に近づくから  極限値が存在するには分子も0に近づかなければいけない」  のでしょうか?